Chứng minh -2x^2-y^2+2xy-2x-2y-6 luôn âm với mọi giá trị x

Để chứng minh biểu thức \(-2x^2 - y^2 + 2xy - 2x - 2y - 6\) luôn âm với mọi giá trị của \(x\) và \(y\), ta sẽ xem xét nó như một hàm bậc hai đối với biến \(y\).

Ta viết lại biểu thức theo dạng hàm của \(y\):

\[
f(y) = -y^2 + (2x - 2)y - (2x^2 + 2x + 6)
\]

Hàm \(f(y)\) này là một hàm bậc hai đối với \(y\) với hệ số của \(y^2\) là -1, vì vậy nó sẽ đạt cực đại. Để tìm cực đại của hàm này, ta tìm nghiệm của phương trình:

\[
\frac{df}{dy} = 0
\]

Tính đạo hàm:

\[
\frac{df}{dy} = -2y + (2x - 2)
\]

Giải phương trình:

\[
-2y + (2x - 2) = 0 \implies y = x - 1
\]

Bây giờ, ta thay \(y = x - 1\) vào biểu thức \(f(y)\):

\[
f(x - 1) = -(x - 1)^2 + (2x - 2)(x - 1) - (2x^2 + 2x + 6)
\]

Tính toán các thành phần trong biểu thức:

\[
-(x - 1)^2 = -x^2 + 2x - 1
\]

\[
(2x - 2)(x - 1) = 2x^2 - 2x - 2x + 2 = 2x^2 - 4x + 2
\]

Thay vào biểu thức:

\[
f(x - 1) = (-x^2 + 2x - 1) + (2x^2 - 4x + 2) - (2x^2 + 2x + 6)
\]

Kết hợp lại:

\[
f(x - 1) = -x^2 + 2x - 1 + 2x^2 - 4x + 2 - 2x^2 - 2x - 6
\]

\[
= -x^2 + 2x^2 - 2x^2 + 2x - 4x - 2x - 1 + 2 - 6
\]

\[
= -x^2 + 0x - 5
\]

Vì vậy:

\[
f(x - 1) = -5
\]

Do đó \(-2x^2 - y^2 + 2xy - 2x - 2y - 6\) luôn nhỏ hơn hoặc bằng -5 với mọi giá trị của \(x\) và \(y\).

Kết luận rằng biểu thức \(-2x^2 - y^2 + 2xy - 2x - 2y - 6\) luôn âm với mọi giá trị của \(x\) và \(y\).