Để giải bài toán này, chúng ta có điều kiện:

1. \( a + b + c = 0 \)
2. \( ab + bc + ca = 0 \)

Từ điều kiện \( a + b + c = 0 \), ta có thể biểu diễn \( c \) theo \( a \) và \( b \):

\[
c = -a - b
\]

Thay vào điều kiện thứ hai:

\[
ab + b(-a - b) + a(-a - b) = 0
\]

Khi thay thế, ta được:

\[
ab - ab - b^2 - a^2 - ab = 0
\]

Rút gọn, ta có:

\[
-a^2 - b^2 - ab = 0 \quad \Rightarrow \quad a^2 + b^2 + ab = 0
\]

Đối với phương trình bậc hai này, ta biết rằng:

\[
a = -\frac{b}{2} \quad \text{và} \quad c = -\frac{b}{2} - b = -\frac{3b}{2}
\]

Giờ ta sẽ tính \( A = (a-1)^{2015} + (b+1)^{2014} + (c+1)^{2013} \).

Biểu diễn \( a, b, c \) dưới dạng \( b \):

1. \( a = -\frac{b}{2} \)
2. \( c = -\frac{3b}{2} \)

Thay vào \( A \):

\[
A = \left(-\frac{b}{2} - 1\right)^{2015} + \left(b + 1\right)^{2014} + \left(-\frac{3b}{2} + 1\right)^{2013}
\]

Giờ ta sẽ tính từng phần:

- Thành phần \( (a-1) \):

\[
a - 1 = -\frac{b}{2} - 1 \quad \Rightarrow \quad -\frac{b + 2}{2}
\]

- Thành phần \( (b+1) \) là đơn giản:

\[
b + 1
\]

- Thành phần \( (c+1) \):

\[
c + 1 = -\frac{3b}{2} + 1 = -\frac{3b - 2}{2}
\]

Vậy \( A \) sẽ trở thành:

\[
A = \left(-\frac{b + 2}{2}\right)^{2015} + (b + 1)^{2014} + \left(-\frac{3b - 2}{2}\right)^{2013}
\]

Kết quả cụ thể sẽ phụ thuộc vào giá trị của \( b \). Tuy nhiên, vì những biểu thức này phụ thuộc vào giá trị của \( b \), với \( a, b, c \) thỏa mãn các điều kiện ban đầu. Nếu bạn cần một giá trị cụ thể cho \( b \), có thể chia sẻ thêm thông tin để tôi có thể giúp bạn tính toán chính xác hơn.