Để tính hợp lý biểu thức:

\[
\frac{4}{9} \cdot \frac{13}{17} + \frac{2}{17} \cdot \frac{4}{9} + \frac{2}{9} \cdot \frac{4}{17}
\]

Chúng ta sẽ thực hiện từng phép tính một.

1. **Tính \(\frac{4}{9} \cdot \frac{13}{17}\)**:
\[
= \frac{4 \cdot 13}{9 \cdot 17} = \frac{52}{153}
\]

2. **Tính \(\frac{2}{17} \cdot \frac{4}{9}\)**:
\[
= \frac{2 \cdot 4}{17 \cdot 9} = \frac{8}{153}
\]

3. **Tính \(\frac{2}{9} \cdot \frac{4}{17}\)**:
\[
= \frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 17} = \frac{8}{153}
\]

4. **Cộng tất cả các kết quả lại**:
\[
\frac{52}{153} + \frac{8}{153} + \frac{8}{153} = \frac{52 + 8 + 8}{153} = \frac{68}{153}
\]

Cuối cùng, để đơn giản hóa \(\frac{68}{153}\), chúng ta kiểm tra ước số chung lớn nhất (USCLN) của 68 và 153.

- 68 = 2 \times 34
- 153 = 3 \times 51

Không có ước số chung, nên biểu thức đã là đơn giản nhất.

Do đó, kết quả cuối cùng là:

\[
\frac{68}{153}
\]