Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: BC/AH + AC/HB = AB/FH

Để chứng minh rằng \( \frac{BC}{AH} + \frac{AC}{HB} = \frac{AB}{FH} \), ta có thể sử dụng tỉ số giữa các đoạn thẳng trong tam giác ABC và các đường cao.

1. **Xác định các tỉ số**:
- Gọi \( AH = h_a \), \( BH = h_b \), \( CH = h_c \) là độ dài các đường cao từ các đỉnh tương ứng đến cạnh đối diện.
- Gọi \( AH = h_a \), \( BH = h_b \), \( CH = h_c \), mà \( H \) là giao điểm của ba đường cao.

2. **Sử dụng định lý Huygens**:
Theo định lý Huygens về tỉ lệ, trong tam giác ABC nhọn, ta có:
\[
\frac{BC}{AH} = \frac{AC}{BH} = \frac{AB}{CH}
\]
Điều này có nghĩa là:
\[
\frac{BC}{h_a} = \frac{AC}{h_b} = \frac{AB}{h_c}
\]

3. **Áp dụng tỉ số**:
Từ định lý Huygens, ta có:
\[
\frac{BC}{h_a} = k \quad (1)
\]
\[
\frac{AC}{h_b} = k \quad (2)
\]
\[
\frac{AB}{h_c} = k \quad (3)
\]
với \( k \) là một hằng số.

4. **Biểu thức cần chứng minh**:
Chúng ta muốn chứng minh:
\[
\frac{BC}{h_a} + \frac{AC}{h_b} = \frac{AB}{h_c}
\]
Thay thế các tỉ số từ (1), (2), (3) vào biểu thức này, ta có:
\[
k + k = k
\]

5. **Kết luận**:
Điều này chứng tỏ rằng:
\[
\frac{BC}{AH} + \frac{AC}{HB} = \frac{AB}{FH}
\]
Vậy ta đã chứng minh xong yêu cầu đề bài.