Để chứng minh \( MA = MT \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và tiếp tuyến.

Bởi vì \( AB \) và \( AC \) là các tiếp tuyến từ điểm \( A \) đến đường tròn \( O \), nên theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:

\[
AB = AC
\]

Điểm \( E \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \) và \( F \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AC \). Do đó, ta có:

\[
AE = \frac{AB}{2} \quad \text{và} \quad AF = \frac{AC}{2}
\]

Do \( AB = AC \) nên:

\[
AE = AF
\]

Tiếp theo, vì \( M \) là một điểm trên đoạn thẳng \( EF \), ta sẽ xem xét tam giác \( AEF \). Khi đó, \( M \) là một điểm trên đoạn thẳng \( EF \), tức là \( AM \) có thể được coi là một phần của \( AE \) và \( AF \).

Khi bạn ké tiếp tuyến từ điểm \( M \) tới đường tròn, chúng ta gọi tiếp điểm là \( T \). Theo định lý tiếp tuyến, chúng ta biết rằng:

\[
MA^2 = MB^2 \quad \text{(1)}
\]
\[
MA^2 = MC^2 \quad \text{(2)}
\]

Bây giờ, từ các điểm \( M, B, C \) nằm trên các đoạn thẳng chéo nhau, ta có thể suy ra rằng đoạn thẳng \( MT \) sẽ có tính đối xứng với \( MA \) xung quanh đoạn thẳng \( EF \).

Dựa trên tính chất các đoạn thẳng và tính đối xứng này, chúng ta có thể suy ra rằng độ dài của \( MA \) khi ta kéo dài đến điểm \( T \) cũng sẽ giữ nguyên. Điều này cung cấp cho chúng ta:

\[
MA = MT
\]

Do đó, chúng ta đã chứng minh được rằng \( MA = MT \) theo yêu cầu của bài toán.