Để giải bài toán, trước tiên ta cần xác định tổng thời gian cô Lan đi từ nhà về quê.

Cô Lan đi tổng cộng 1 giờ 36 phút, tức là:
\[
1 \text{ giờ } 36 \text{ phút} = 96 \text{ phút}.
\]

Gọi thời gian cô Lan đi đoạn đường thứ nhất là \( t_1 \), đoạn đường thứ hai là \( t_2 \), và đoạn đường thứ ba là \( t_3 \). Ta có các thông tin sau:

1. Thời gian cô đi đoạn đường thứ nhất:
\[
t_1 = \frac{3}{16} \times 96 = \frac{288}{16} = 18 \text{ phút}.
\]

2. Thời gian cô đi đoạn đường thứ hai liên quan đến thời gian đoạn đường thứ nhất là:
\[
t_1 = \frac{3}{5} t_2 \implies t_2 = \frac{5}{3} t_1 = \frac{5}{3} \times 18 = 30 \text{ phút}.
\]

3. Tổng thời gian đi 3 đoạn đường được tính như sau:
\[
t_1 + t_2 + t_3 = 96 \implies 18 + 30 + t_3 = 96.
\]

4. Giải phương trình để tìm \( t_3 \):
\[
t_3 = 96 - 18 - 30 = 48 \text{ phút}.
\]

Vậy, thời gian cô Lan đi đoạn đường thứ ba là 48 phút.