Có nghiệm duy nhất \(x - y < 0\)

Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x + y = 3 \\
mx - y = m^2 - 4
\end{cases}
\]

ta sẽ thay thế giá trị của \(y\) từ phương trình đầu tiên vào phương trình thứ hai.

Từ \(x + y = 3\), ta có:

\[
y = 3 - x
\]

Thay \(y\) vào phương trình thứ hai:

\[
mx - (3 - x) = m^2 - 4
\]

Giải phương trình này:

\[
mx - 3 + x = m^2 - 4
\]

\[
(m + 1)x - 3 = m^2 - 4
\]

\[
(m + 1)x = m^2 - 1
\]

\[
x = \frac{m^2 - 1}{m + 1} \quad (m \neq -1)
\]

Tiếp theo, tìm \(y\):

\[
y = 3 - x = 3 - \frac{m^2 - 1}{m + 1} = \frac{3(m + 1) - (m^2 - 1)}{m + 1}
\]

\[
= \frac{3m + 3 - m^2 + 1}{m + 1} = \frac{-m^2 + 3m + 4}{m + 1}
\]

Vậy nghiệm \((x, y)\) là:

\[
\left( \frac{m^2 - 1}{m + 1}, \frac{-m^2 + 3m + 4}{m + 1} \right)
\]

Để có nghiệm duy nhất thỏa mãn \(x - y < 0\), ta cần phân tích điều kiện:

\[
x - y < 0 \Rightarrow \frac{m^2 - 1}{m + 1} - \frac{-m^2 + 3m + 4}{m + 1} < 0
\]

Rút gọn biểu thức:

\[
\frac{(m^2 - 1) + (m^2 - 3m - 4)}{m + 1} < 0
\]

\[
\frac{2m^2 - 3m - 5}{m + 1} < 0
\]

Giải bất phương trình này sẽ giúp ta tìm giá trị của \(m\).

Phân tích:

1. Tìm nghiệm của \(2m^2 - 3m - 5 = 0\) bằng công thức nghiệm:
\[
m = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)}}{2 \cdot 2}
\]
\[
= \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} = \frac{3 \pm 7}{4} \Rightarrow m_1 = 2.5, m_2 = -1
\]

2. Kiểm tra dấu của \(2m^2 - 3m - 5\):

- Thành phần \((m+1)\) là âm khi \(m < -1\).
- Hàm bậc hai \(2m^2 - 3m - 5\) có dạng mở lên, nghiệm tại \(m = -1\) và \(m = 2.5\).

Dựa vào bảng dấu, bất phương trình \(2m^2 - 3m - 5 < 0\) có nghiệm trong khoảng:

\[
-1 < m < 2.5
\]

Với điều kiện \(m > -1\), kết hợp với \(x - y < 0\), ta có được miền giá trị của \(m\).

**Kết luận**: Để đảm bảo có nghiệm duy nhất thỏa mãn \(x - y < 0\), ta có:

\[
-1 < m < 2.5
\]