Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số tính chất của hình bình hành và một số tính chất của tam giác. Dưới đây là các bước chứng minh:

### a) Chứng minh rằng: △AOM = △CON

Dễ dàng nhận thấy rằng O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD, nên O chia AC và BD thành 2 đoạn tỷ lệ. Ta có:

- AO = OC (vì O là trung điểm của AC)
- OM = ON (vì M và N đều nằm trên tia MO, mà O là giao điểm)

Chúng ta cần chứng minh rằng 2 tam giác AOM và CON là tương đương.

1. **Góc AOM và góc CON:**
- Ta có ∠AOM = ∠CON (do M ∈ AB và N ∈ CD, các cạnh AB song song với CD trong hình bình hành).

2. **Độ dài:**
- AO = OC (đã chứng minh ở trên).
- OM = ON (bằng nhau vì M và N đều nằm trên tia MO).

Vì vậy, theo tiêu chí góc - cạnh - góc (AOM có chung một góc và cạnh tương ứng), ta suy ra:

\[
\triangle AOM \cong \triangle CON
\]

### b) Chứng minh: Tứ giác AMCN là hình bình hành

Để chứng minh rằng AMCN là hình bình hành, ta cần chứng minh 2 cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau hoặc 2 cặp cạnh song song.

1. **Cạnh AM và CN:**
Từ câu a) ta có △AOM = △CON, suy ra:
- AO = OC (cạnh tương ứng)
- OM = ON (cạnh tương ứng)

Vậy:

\[
AM = CN
\]

2. **Cạnh AC và MN:**
Bây giờ chúng ta chứng minh rằng AN // MC:
- Do O là giao điểm của hai đường chéo, nên ON // AM (cạnh tuy không tương ứng nhưng đều song song).

Như vậy, ta đã chứng minh AMCN có 2 cạnh đối diện bằng nhau và song song. Suy ra AMCN là hình bình hành.

### c) Chứng minh: BN song song với DM

Để chứng minh rằng BN // DM, ta có thể sử dụng tính chất của hình bình hành ABCD.

1. Từ tứ giác AMCN là hình bình hành, ta đã có DN // AC và AN // BM (từ tính chất của hình bình hành).
2. Vì hai đường thẳng song song với nhau sẽ có tỷ lệ hàng này bằng nhau:
- ∠BAN tương ứng với ∠AOD từ △AOM
- Ta biết rằng ∠AOD + ∠DAB = 180°.

Dựa vào tính chất của các góc nội tiếp trong hình bình hành, ta cũng có thể suy ra:

\[
\text{BN} // \text{DM}
\]

Từ đó, ta khẳng định BN // DM.

Vậy chứng minh đã hoàn tất. Mong rằng phần giải thích này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán!