Để chứng minh đoạn thẳng \(BD\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AC\) trong tứ giác \(ABCD\) với điều kiện \(AB = BC\) và \(CD = DA\), ta có thể thực hiện theo các bước sau:

1. **Cấu trúc tứ giác:**
Tứ giác \(ABCD\) có \(AB = BC\) và \(CD = DA\) nên nó là một tứ giác đối xứng.

2. **Chọn điểm trung điểm:**
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\). Vì \(AB = BC\) và \(CD = DA\), ta luôn có \(AM = MC\) và \(DM = MB\).

3. **Xét các tam giác:**
Xét hai tam giác:
- Tam giác \(ABM\)
- Tam giác \(CBM\)

Do \(AB = BC\) và \(AM = MC\), ta có:
\[
ABM \cong CBM \quad (\text{theo tiêu chí cạnh - cạnh - cạnh})
\]

Do đó, \(\angle ABM = \angle CBM\).

4. **Tương tự với các góc:**
Xét tam giác \(DMC\) và \(BMA\):
- Theo cách lập luận tương tự như trên, ta có:
\[
DMC \cong BMA
\]
Do đó, \(\angle DMC = \angle BMA\).

5. **Kết luận:**
Vì \(BD\) vuông góc với \(AC\) và đi qua điểm \(M\), chúng ta có \(BD\) chính là đường trung trực của đoạn \(AC\).

Vậy \(BD\) là đường trung trực của \(AC\) như yêu cầu.