Chúng ta sẽ giải từng phần câu hỏi liên quan đến tam giác vuông ∆ABC vuông tại A.

### a. Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp của ∆ABC

Trong tam giác vuông, tâm O của đường tròn ngoại tiếp sẽ nằm trên cạnh huyền. Đối với tam giác ∆ABC vuông tại A, chúng ta có:

- Tâm O của đường tròn ngoại tiếp nằm giữa các điểm A và B của huyền BC.
- Có thể tính O bằng cách lấy trung điểm của cạnh huyền BC. Nếu BC là cạnh huyền, thì O chính là điểm giữa BC.

### b. Kẻ AK vuông góc với BC tại K và tính AK và bán kính đường tròn

Chúng ta có AB = 8 cm và AC = 6 cm. Từ đây, tính độ dài cạnh huyền BC bằng định lý Pythagore:

\[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \]

Bán kính O của đường tròn ngoại tiếp là nửa độ dài của cạnh huyền BC:

\[ R = O = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm} \]

Để tính AK (đường cao từ A đến BC), sử dụng công thức tính diện tích tam giác:

Diện tích của ∆ABC có thể tính bằng cách sử dụng cạnh đáy và độ cao:

\[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \text{ cm}^2 \]

Cũng có thể tính diện tích bằng cách sử dụng cạnh huyền BC và độ cao AK:

\[ S = \frac{1}{2} \times BC \times AK \]

Vì vậy, ta có:

\[
24 = \frac{1}{2} \times 10 \times AK
\]
Giải phương trình này để tìm AK:

\[
24 = 5 \times AK \implies AK = \frac{24}{5} = 4.8 \text{ cm}
\]

### c. Chứng minh M thuộc đường tròn O

Điểm M là điểm đối xứng với A qua điểm K.

*Do AK là đường cao, nên AK vuông góc với BC, và do đó K sẽ là điểm chính giữa đoạn AH (trong đó H là hình chiếu của A trên BC).*

Bởi vì A và M đối xứng qua K, tức là K sẽ chia đoạn AM thành hai phần bằng nhau. Khi đó, đoạn AM có chiều dài là 2AK. Khi K là trung điểm của AM, đường tròn ngoại tiếp ∆ABC sẽ chứa cả A và M, vì bán kính của đường tròn là O bằng nửa độ dài cạnh huyền.

Ta có thể tính tọa độ của M và chứng minh rằng M sẽ nằm trên đường tròn với tâm O và bán kính R đã tính ở phần b. Như vậy sẽ có thể lập luận rằng M cũng sẽ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Vì vậy M thuộc đường tròn O.

### Kết quả:
- Tâm O nằm giữa B và C
- AK = 4.8 cm
- Bán kính R = 5 cm
- M thuộc đường tròn O.

Hy vọng giải thích này là hữu ích cho bạn!