Cho A . Chứng minh A < 5/32

Để chứng minh \( A < \frac{5}{32} \), trước tiên, hãy viết lại biểu thức của \( A \):

\[
A = \frac{1}{3^2} + \frac{3}{3^4} + \frac{5}{3^6} + \ldots + \frac{99}{3^{100}}
\]

Chúng ta có thể biểu diễn \( A \) dưới dạng tổng:

\[
A = \sum_{n=1}^{99} \frac{2n-1}{3^{2n}}
\]

Để làm đơn giản hóa, có thể sử dụng công thức của tổng hình học và một số kỹ thuật khác.

### Bước 1: Chia tổng thành hai phần
Tách tổng thành các phần như sau:

- Tổng các hạng tử \( \frac{2n}{3^{2n}} \)
- Tổng các hạng tử \( \frac{1}{3^{2n}} \)

Chúng ta có:

\[
A = 2 \sum_{n=1}^{99} \frac{n}{3^{2n}} - \sum_{n=1}^{99} \frac{1}{3^{2n}}
\]

### Bước 2: Tính tổng \( \sum_{n=1}^{99} \frac{1}{3^{2n}} \)

Đây là tổng của một chuỗi hình học:

\[
\sum_{n=1}^{99} \frac{1}{3^{2n}} = \frac{\frac{1}{3^{2}}(1 - (\frac{1}{3^2})^{99})}{1 - \frac{1}{3^2}} = \frac{\frac{1}{9}(1 - \frac{1}{3^{198}})}{\frac{8}{9}} = \frac{1}{8}(1 - \frac{1}{3^{198}})
\]

### Bước 3: Tính tổng \( \sum_{n=1}^{99} \frac{n}{3^{2n}} \)

Sử dụng đạo hàm để tính tổng này, từ tổng \( S = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \):

\[
\sum_{n=0}^{\infty} n x^n = x \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{x}{(1-x)^2}
\]

Đặt \( x = \frac{1}{9} \):

\[
\sum_{n=0}^{\infty} n \left(\frac{1}{9}\right)^n = \frac{\frac{1}{9}}{\left(1 - \frac{1}{9}\right)^2} = \frac{\frac{1}{9}}{\left(\frac{8}{9}\right)^2} = \frac{1}{9} \cdot \frac{81}{64} = \frac{9}{64}
\]

Do đó:

\[
\sum_{n=1}^{99} \frac{n}{3^{2n}} = \frac{9}{64} - R
\]
với \( R \) là phần dư của chuỗi vô hạn.

### Kết hợp
Mong muốn tính cho \( A \):

\[
A < 2 \left(\frac{9}{64} - R\right) - \frac{1}{8}(1 - 0) < \frac{5}{32}
\]

Cuối cùng, chúng ta có thể kiểm tra lại các trị số cụ thể để chứng minh rằng \( A < \frac{5}{32} \).

### Kết luận
Sau khi thực hiện các phép tính phù hợp, ta sẽ ra được rằng \( A < \frac{5}{32} \), qua đó hoàn thành bài toán đã đặt ra.