Để chứng minh rằng \( BC \parallel MN \) trong hình chữ nhật \( MNPQ \) đã cho, ta sẽ thực hiện các bước chứng minh như sau:

### Bước 1: Chứng minh rằng tam giác \( CDNB \) là hình bình hành.
- Ta có \( D \) là trung điểm của \( PA \) và \( AQ \).
- Do \( D \) nằm trên \( A \), từ đó suy ra \( DB = DN \) và \( CD = NB \).
- Vì vậy, \( CDNB \) là hình bình hành do có cả hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

### Bước 2: Chứng minh \( E \) là giao điểm của \( NB \) và \( PC \) là vuông góc.
- Gọi \( F \) là chân đường vuông góc hạ từ \( D \) đến \( NB \).
- Tính chất của hình chữ nhật cho ta biết rằng:
\[
MN \perp NP
\]
Do đó, \( DE \perp NB \).

### Bước 3: Chứng minh \( FDCE \) là hình chữ nhật.
- Trong tam giác \( FDB \) và \( FDC \), nếu \( FD \perp DB \) và \( CD \parallel MN \), thì:
- Cạnh \( FD \) vuông góc với \( DB \).
- Cạnh \( CD \) cũng vuông góc với \( AB \).

### Bước 4: Khẳng định \( BC \parallel MN \).
- Từ các chứng minh trên, ta đã thiết lập được rằng:
\[
CD \parallel MN \text{ và } BD \parallel AC
\]
- Do đó, từ các tính chất của hình bình hành, suy ra:
\[
BC \parallel MN
\]
Vậy là, ta đã chứng minh được rằng \( BC \parallel MN \).