Tìm số tự nhiên n sao cho n^4+2n^3+2n^2+n+3 là số chính phương​

Ta cần tìm số tự nhiên \( n \) sao cho biểu thức \( n^4 + 2n^3 + 2n^2 + n + 3 \) là một số chính phương, tức là có thể viết dưới dạng \( k^2 \) với \( k \) là một số tự nhiên.

Trước tiên, ta xem xét giá trị của biểu thức này cho các số tự nhiên nhỏ.

1. Khi \( n = 0 \):
\[
n^4 + 2n^3 + 2n^2 + n + 3 = 0^4 + 2 \cdot 0^3 + 2 \cdot 0^2 + 0 + 3 = 3
\]
\( 3 \) không phải là số chính phương.

2. Khi \( n = 1 \):
\[
n^4 + 2n^3 + 2n^2 + n + 3 = 1^4 + 2 \cdot 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 1 + 3 = 1 + 2 + 2 + 1 + 3 = 9
\]
\( 9 \) là số chính phương (bằng \( 3^2 \)).

3. Khi \( n = 2 \):
\[
n^4 + 2n^3 + 2n^2 + n + 3 = 2^4 + 2 \cdot 2^3 + 2 \cdot 2^2 + 2 + 3 = 16 + 16 + 8 + 2 + 3 = 45
\]
\( 45 \) không phải là số chính phương.

4. Khi \( n = 3 \):
\[
n^4 + 2n^3 + 2n^2 + n + 3 = 3^4 + 2 \cdot 3^3 + 2 \cdot 3^2 + 3 + 3 = 81 + 54 + 18 + 3 + 3 = 159
\]
\( 159 \) không phải là số chính phương.

5. Khi \( n = 4 \):
\[
n^4 + 2n^3 + 2n^2 + n + 3 = 4^4 + 2 \cdot 4^3 + 2 \cdot 4^2 + 4 + 3 = 256 + 128 + 32 + 4 + 3 = 423
\]
\( 423 \) không phải là số chính phương.

6. Khi \( n = 5 \):
\[
n^4 + 2n^3 + 2n^2 + n + 3 = 5^4 + 2 \cdot 5^3 + 2 \cdot 5^2 + 5 + 3 = 625 + 250 + 50 + 5 + 3 = 933
\]
\( 933 \) không phải là số chính phương.

7. Khi \( n = 6 \):
\[
n^4 + 2n^3 + 2n^2 + n + 3 = 6^4 + 2 \cdot 6^3 + 2 \cdot 6^2 + 6 + 3 = 1296 + 432 + 72 + 6 + 3 = 1809
\]
\( 1809 \) không phải là số chính phương.

Từ các giá trị đã tính, chúng ta thấy chỉ có \( n = 1 \) là giá trị duy nhất mà \( n^4 + 2n^3 + 2n^2 + n + 3 \) là số chính phương. Do đó, câu trả lời là:

\[
\boxed{1}
\]