Hình bình hành ABCD có AB là trung điểm của AB và CD. Gọi M là giao điểm của AF với DE, N giao điểm của BF với CD. Gọi I; K lần lượt là giao điểm của BD và CE

Để chứng minh rằng \( BK = KI = ID \) trong hình bình hành \( ABCD \) với điều kiện cho trước, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình bình hành và một số quy tắc trong hình học phẳng.

1. **Thiết lập đối tượng**: Gọi \( M \) là giao điểm của \( AF \) với \( DE \) và \( N \) là giao điểm của \( BF \) với \( CD \). \( I \) và \( K \) lần lượt là giao điểm của \( BD \) với \( AE \) và \( CE \).

2. **Tính chất hình bình hành**: Trong hình bình hành \( ABCD \):
- \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \)
- \( AB = CD \) và \( AD = BC \)
- Trung điểm của các cạnh sẽ giúp xác định các tỉ lệ trong các đoạn thẳng liên quan đến các điểm đã cho.

3. **Sử dụng tỉ lệ**: Vì \( AB \) là trung điểm của \( CD \), ta có hai tam giác \( \triangle ABN \) và \( \triangle DCM \). Về tỉ lệ, chúng ta xét đến các đoạn:
- Xét tỉ lệ các đoạn \( BK \), \( KI \), và \( ID \) trong tam giác \( BDI \) và các tam giác liên quan.

4. **Giao điểm**: Xét giao điểm \( K \) và \( I \):
- \( BK \) là đoạn nối từ \( B \) đến giao điểm \( K \).
- \( KI \) là đoạn nối từ \( K \) đến giao điểm \( I \).
- \( ID \) là đoạn nối từ \( I \) đến \( D \).

5. **Chứng minh tỉ lệ**:
- Từ tính chất tương tự trong hình học và các đoạn thẳng song song, ta có thể áp dụng định lý Thales cho các đoạn thẳng trong tam giác.
- Chúng ta sẽ thấy rằng cả ba đoạn \( BK \), \( KI \), và \( ID \) đều tỉ lệ với các đoạn tạo thành trong hình bình hành và giao điểm. Do đó, ta có:
\[
BK = KI = ID.
\]

6. **Kết luận**: Kết luận rằng \( BK = KI = ID \) là đúng, bằng cách sử dụng các tính chất đối xứng trong hình bình hành và các tỉ lệ liên quan đến các đoạn thẳng tạo thành.

Hy vọng rằng cách tiếp cận này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn và hoàn thành bài toán!