Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(\frac{5a - 17}{4a - 23}\) với \(a\) là số tự nhiên, ta thực hiện các bước phân tích sau:

1. **Tìm miền xác định:**
- Biểu thức xác định khi \(4a - 23 \neq 0\) hay \(4a \neq 23\) (tức là \(a \neq \frac{23}{4} = 5.75\)).
- Vì \(a\) là số tự nhiên, nên \(a \geq 6\).

2. **Tính giá trị biểu thức cho các giá trị của \(a\):**
- Tính giá trị cho một số giá trị của \(a\) bắt đầu từ 6:
- \(a = 6: \frac{5 \times 6 - 17}{4 \times 6 - 23} = \frac{30 - 17}{24 - 23} = \frac{13}{1} = 13\)
- \(a = 7: \frac{5 \times 7 - 17}{4 \times 7 - 23} = \frac{35 - 17}{28 - 23} = \frac{18}{5} = 3.6\)
- \(a = 8: \frac{5 \times 8 - 17}{4 \times 8 - 23} = \frac{40 - 17}{32 - 23} = \frac{23}{9} \approx 2.56\)
- \(a = 9: \frac{5 \times 9 - 17}{4 \times 9 - 23} = \frac{45 - 17}{36 - 23} = \frac{28}{13} \approx 2.15\)

3. **Đánh giá và kết luận:**
- Qua những tính toán trên, ta thấy khi \(a = 6\), biểu thức đạt giá trị lớn nhất là 13. Các giá trị cho \(a = 7\), \(8\), và \(9\) đều nhỏ hơn 13.

Vậy, **giá trị của số tự nhiên \(a\) để biểu thức \(\frac{5a - 17}{4a - 23}\) có giá trị lớn nhất là \(6\)**.