Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \leq 0 \) dưới giả thuyết \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0 \) với \( a, b, c \neq 0 \), trước tiên ta có thể viết lại điều kiện như sau:

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0 \implies \frac{bc + ac + ab}{abc} = 0 \implies bc + ac + ab = 0.
\]

Tiếp theo, chúng ta xem xét biểu thức cần chứng minh:

\[
\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} = \frac{c + a + b}{abc}.
\]

Dựa vào điều kiện mà ta đã chứng minh, ta có \( c + a + b = -ab/c \) (vì \( ab + ac + bc = 0 \)). Thay vào biểu thức trên, ta được:

\[
\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} = \frac{c + a + b}{abc} = \frac{-ab/c}{abc} = -\frac{1}{c} \leq 0
\]

Bằng cách này, ta đã chứng minh rằng:

\[
\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \leq 0.
\]

Do đó, bất đẳng thức đã được chứng minh.