Để chứng minh rằng tam giác \( AHC \) là tam giác vuông, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tính chất hình học**: Vì \( I \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( BI = IC \). Đường thẳng \( AI \) là đường trung tuyến trong tam giác \( ABC \).

2. **Xét điểm \( D \)**: Đường thẳng vuông góc với \( AB \) tại \( B \) cắt \( AI \) tại \( D \). Điều này cho ta rằng \( BD \perp AB \).

3. **Điểm \( E \)**: Ta có \( IE = ID \) và \( E \) nằm trên tia đối của tia \( ID \). Vì vậy, tam giác \( AID \) sẽ có điểm \( E \) đối xứng với \( D \) qua \( I \).

4. **Giao điểm \( H \)**: Gọi \( H \) là giao điểm của \( CE \) và \( AB \).

5. **Chứng minh góc**:
- Ta xem góc \( AHB \) và góc \( AHC \).
- Ta sẽ chứng minh rằng \( AH \) vuông góc với \( AC \).

6. **Sử dụng liên hệ vuông góc**: Vì hai điểm \( B \) và \( D \) nằm trên đường thẳng vuông góc với \( AB \) và \( I \) là trung điểm, nên \( AD \) là đường cao ứng với cạnh \( AC \).

7. **Kết luận**: Ta có:
- \( AH \perp AC \) (do \( H \) thuộc đường thẳng \( CE \) với \( E \) đối xứng với \( D \)).
- Do đó, tam giác \( AHC \) là tam giác vuông tại \( H \).

Vậy ta đã chứng minh rằng tam giác \( AHC \) là tam giác vuông.