Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Tìm điều kiện để biểu thức \( A \) có nghĩa và rút gọn biểu thức:

Biểu thức đã cho là:

\[
A = \left( \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} - \frac{x^2 - 1}{x - 1} \right) \cdot \left( \frac{x + x}{x - 1} \right)
\]

1. **Điều kiện xác định:**
- \( x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \) và \( x \neq -1 \)
- \( x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \)

Điều kiện xác định cho \( A \) là: \( x \neq 1 \) và \( x \neq -1 \).

2. **Rút gọn biểu thức:**
- Ta cần rút gọn từng phần của biểu thức trước.
- Đối với \( \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} \), ta có thể viết:
\[ x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) \]
\[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \]
Vậy:
\[
\frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} = \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}
\]
- Biểu thức sau đó:
\[
A = \left( \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} - \frac{x^2 - 1}{x - 1} \right) \cdot 2
\]
\[
A = \left( \frac{(x^2 - x + 1) - (x^2 - 1)}{x - 1} \right) \cdot 2 = \left( \frac{-x + 2}{x - 1} \right) \cdot 2
\]
\[
A = \frac{-2x + 4}{x - 1}
\]

### b) Tìm \( x \) để \( A = 3 \):

Đặt \( A = 3 \):
\[
\frac{-2x + 4}{x - 1} = 3
\]

Giải phương trình:
\[
-2x + 4 = 3(x - 1)
\]
\[
-2x + 4 = 3x - 3
\]
\[
4 + 3 = 3x + 2x
\]
\[
7 = 5x \Rightarrow x = \frac{7}{5}
\]

### c) Tìm \( x \) để biểu thức \( A \) nhận giá trị nguyên:

Để \( A \) là số nguyên, tức là \( \frac{-2x + 4}{x - 1} \) phải là số nguyên. Gọi \( k \) là số nguyên, ta có:

\[
-2x + 4 = k(x - 1)
\]

Giải phương trình trên:
\[
-2x + 4 = kx - k
\]
\[
4 + k = kx + 2x
\]
\[
x(k + 2) = 4 + k \Rightarrow x = \frac{4 + k}{k + 2}
\]

Do \( x \) phải thỏa mãn các điều kiện ban đầu, chúng ta có:
- \( k + 2 \neq 0 \Rightarrow k \neq -2 \)
- Tính giá trị của \( x \) với các giá trị nguyên của \( k \).

Kết luận:
- \( A \) có nghĩa khi \( x \neq 1 \) và \( x \neq -1 \).
- Khi \( A = 3 \), ta tìm được \( x = \frac{7}{5} \).
- Để \( A \) là số nguyên, ta có \( x = \frac{4 + k}{k + 2} \) với \( k \) là số nguyên và \( k \neq -2 \).