Cho hình thang DEFG có DE//FG

Để chứng minh mối liên hệ \( \frac{DH}{DG} + \frac{KE}{EF} = 1 \) trong hình thang \( DEFG \) có \( DE \parallel FG \), chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hình thang và định lý tỉ lệ trong các tam giác.

1. **Thiết lập hệ trục tọa độ:**
- Giả sử \( D \) có tọa độ \( (0, 0) \), \( E \) có tọa độ \( (a, 0) \), \( F \) có tọa độ \( (b, h) \) và \( G \) có tọa độ \( (c, h) \) với \( a < b < c \) và \( DE \parallel FG \).

2. **Tìm tọa độ điểm I:**
- Điểm \( I \) nằm trên đoạn \( DF \) và có thể có tọa độ \( (x_I, y_I) \) với \( 0 \leq x_I \leq b \) và \( 0 \leq y_I \leq h \).
- Sử dụng hệ số tỉ lệ, ta có thể viết
\[
I = \left( \frac{b}{c}x_I, y_I \right)
\]

3. **Tìm điểm H và K:**
- Vì đường thẳng đi qua \( I \) và song song với \( DE \) (tức là song song với trục x), nên phương trình đường thẳng này là \( y = y_I \).
- Điểm \( H \) tại giao điểm với đường thẳng \( DG \) và có tọa độ \( (x_H, y_H) \) với \( x_H = \frac{c}{c}y_I \), có thể viết tỉ lệ từ định nghĩa tam giác.

4. **Sử dụng tỷ lệ đoạn thẳng:**
- Bởi vì \( DE \parallel FG \), theo định lý hình thang, ta có:
\[
\frac{DH}{DG} = \frac{y_I}{h}
\]
\[
\frac{KE}{EF} = \frac{h - y_I}{h}
\]

5. **Công thức tổng quát:**
- Thay các tỉ lệ vào biểu thức chúng ta cần chứng minh:
\[
\frac{DH}{DG} + \frac{KE}{EF} = \frac{y_I}{h} + \frac{h - y_I}{h}
\]
\[
= \frac{y_I + h - y_I}{h} = \frac{h}{h} = 1
\]

Vậy ta đã chứng minh rằng:
\[
\frac{DH}{DG} + \frac{KE}{EF} = 1.
\]

**Kết luận:** Chứng minh đã hoàn thành, với \( \frac{DH}{DG} + \frac{KE}{EF} = 1 \) theo yêu cầu.