Để xác định điều kiện cho các hàm số được đưa ra, chúng ta cần tính đạo hàm của các hàm số ini và phân tích dấu của chúng.

### a) Hàm số: \( y = mx^3 + mx^2 - 2x + 3 \)

1. **Tính đạo hàm:**
\[
y' = \frac{dy}{dx} = 3mx^2 + 2mx - 2
\]

2. **Để hàm số nghịch biến trên \( \mathbb{R} \), ta cần \( y' \leq 0 \) cho mọi \( x \in \mathbb{R} \).**
Để \( y' \leq 0 \), ta xét đẳng thức sau:
\[
3mx^2 + 2mx - 2 \leq 0
\]
Đây là một phương trình bậc hai trong \( x \). Để biểu thức này luôn âm (hoặc bằng 0), nó phải thoả mãn điều kiện sau:
- Δ ≤ 0 (để không có nghiệm thực dương (hoặc một nghiệm)).

3. **Tính Δ:**
\[
Δ = (2m)^2 - 4 \cdot 3m \cdot (-2) = 4m^2 + 24m
\]
Đặt Δ ≤ 0:
\[
4m^2 + 24m \leq 0
\]
Chia cả phương trình cho 4:
\[
m^2 + 6m \leq 0
\]
Phương trình này có nghiệm tại:
\[
m(m + 6) \leq 0
\]
Từ đó ta có khoảng nghiệm là:
\[
m \in [-6, 0]
\]

### Kết luận cho a:
Hàm số \( y = mx^3 + mx^2 - 2x + 3 \) nghịch biến trên \( \mathbb{R} \) khi \( m \in [-6, 0] \).

---

### b) Hàm số: \( y = x^3 + mx^2 + 2x + 1 \)

1. **Tính đạo hàm:**
\[
y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2mx + 2
\]

2. **Để hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \), ta cần \( y' \geq 0 \) cho mọi \( x \in \mathbb{R} \).**
\[
3x^2 + 2mx + 2 \geq 0
\]
Tương tự, để biểu thức này luôn dương, điều kiện cần là \( Δ \leq 0 \).

3. **Tính Δ:**
\[
Δ = (2m)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 4m^2 - 24
\]
Đặt Δ ≤ 0:
\[
4m^2 - 24 \leq 0
\]
Chia cả phương trình cho 4:
\[
m^2 - 6 \leq 0
\]
Phương trình này có nghiệm:
\[
(m - \sqrt{6})(m + \sqrt{6}) \leq 0
\]
Từ đó ta có khoảng nghiệm là:
\[
m \in [-\sqrt{6}, \sqrt{6}]
\]

### Kết luận cho b:
Hàm số \( y = x^3 + mx^2 + 2x + 1 \) đồng biến trên \( \mathbb{R} \) khi \( m \in [-\sqrt{6}, \sqrt{6}] \).