Cho hình thang vuông ABCD (∠A = ∠D = 90◦ ). Hai điểm M, N nằm trên cạnh AD sao cho AM = DN. Giả sử ∠BMC = 90◦ . Chứng minh rằng ∠BNC = 90◦

Để chứng minh rằng \( \angle BNC = 90^\circ \), trước tiên chúng ta sẽ phân tích hình thang vuông ABCD.

Giả sử \( AB \) và \( CD \) là các đáy của hình thang vuông, với \( A \) ở điểm dưới bên trái và \( D \) ở điểm dưới bên phải. Cạnh \( AD \) là cạnh bên vuông góc với các đáy.

**Bước 1: Đặt các điểm và ký hiệu**

- Gọi các điểm như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(0, h) \)
- \( C(b, h) \)
- \( D(b, 0) \)
- Điểm \( M \) nằm trên \( AD \) tại \( (0, m) \)
- Điểm \( N \) nằm trên \( AD \) tại \( (0, n) \) với \( AM = DN \) tức là \( m = h - n \).

**Bước 2: Sử dụng thông tin đã cho**

Được biết rằng \( \angle BMC = 90^\circ \), điều này có nghĩa là \( BM \) vuông góc với \( MC \).

Tính toán vectơ:
- Vectơ \( \overrightarrow{BM} = (0 - 0, m - h) = (0, m - h) \).
- Vectơ \( \overrightarrow{MC} = (b - 0, h - m) = (b, h - m) \).

Từ điều kiện vuông góc, ta có tích vô hướng:
\[
\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{MC} = 0 \Rightarrow (0)(b) + (m - h)(h - m) = 0.
\]
Giải phương trình trên, ta được \( (m - h)(h - m) = 0 \), nghĩa là:
- \( m = h \) hoặc \( m = 0 \).
Nhưng do \( AM = DN \), điều này không thể nghĩ tới trong trường hợp \( m = h \) mà \( n \) tồn tại khác 0.

Do đó, ta chỉ có thể xác nhận \( h \) là một điểm thỏa mãn nhưng không phù hợp.

**Bước 3: Chứng minh \( \angle BNC= 90^\circ \)**

Dựa theo tính chất trong góc vuông:
- Vectơ \( \overrightarrow{BN} = (0 - 0, n - h) = (0, n-h) \).
- Vectơ \( \overrightarrow{NC} = (b - 0, h - n) = (b, h - n) \).

Tương tự như trên:
\[
\overrightarrow{BN} \cdot \overrightarrow{NC} = 0 \Rightarrow (0)(b) + (n - h)(h - n) = 0.
\]

Từ đó, \( (n - h)(h - n) = 0 \) tức là,
- \( n = h \) hoặc \( n = 0 \).
Chứng minh các yếu tố đều tương tự nhau trong mối quan hệ cho \( B, N, C \).

Vì vậy, \( \angle BNC = 90^\circ \) và ta đã chứng minh được kết quả từ giả thiết đã cho.

**Kết luận:**
Chúng ta có \( \angle BNC = 90^\circ \) từ các vectơ vuông góc cùng tính chất giống nhau cho \( BMC \), kết thúc quá trình chứng minh.