Để chứng minh các hệ quả trong tam giác \( ABC \) với phân giác \( AD \) và các đường thẳng song song như đã được mô tả, ta tiến hành các bước như sau:

### Bước 1: Chứng minh tam giác \( AED \) cân
Ta có:
- Đường thẳng \( DE \) song song với \( AB \) (theo giả thiết), do đó theo tính chất của các đường song song và góc đối đỉnh:
\[
\angle ADE = \angle ABE \quad \text{(1)}
\]
- Đường thẳng \( EK \) song song với \( BC \) (theo giả thiết), do đó:
\[
\angle EAD = \angle KAB \quad \text{(2)}
\]

Vì \( AD \) là phân giác của \( \angle BAC \), nên:
\[
\angle BAD = \angle DAC
\]
Khi đó, từ (1) và (2), ta nhận thấy rằng:
\[
\angle ADE = \angle ABE = \angle EAD = \angle KAB
\]
Do đó, ta có:
\[
\angle AED = \angle ADE
\]
Từ đó, ta kết luận được rằng \( AE = ED \) (mỗi cạnh đối diện với góc bằng nhau của tam giác cân).

### Bước 2: Chứng minh \( AE = BK \)
Ta đã có các đường thẳng song song \( DE \parallel AB \) và \( EK \parallel BC \), do đó, sử dụng định lý đường chéo trong tam giác, chúng ta có tỉ số:
- Từ tam giác \( ABE \) và \( AKB \):
\[
\frac{AE}{AB} = \frac{AK}{BC} \quad \text{(3)}
\]
Vì \( DE \parallel AB \) và \( EK \parallel BC \), theo định lý tiết diện, ta có:
\[
\frac{AE}{EK} = \frac{AB}{BC} \quad \text{(4)}
\]
Từ (3) và (4) suy ra rằng \( AE = BK \) (từ tính chất tỷ lệ các cạnh tương ứng).

Cuối cùng, ta kết luận rằng:
1. Tam giác \( AED \) là tam giác cân: \( AE = ED \).
2. \( AE = BK \).

Tóm lại, với các chứng minh trên, ta đã làm rõ rằng tam giác \( AED \) cân và \( AE = BK \).