Để chứng minh các hệ quả trong tam giác $ABC$ với phân giác $AD$ và các đường thẳng song song như đã được mô tả, ta tiến hành các bước như sau:

### Bước 1: Chứng minh tam giác $AED$ cân
Ta có:
- Đường thẳng $DE$ song song với $AB$ (theo giả thiết), do đó theo tính chất của các đường song song và góc đối đỉnh:
$$\angle ADE = \angle ABE \quad \text{(1)}$$
- Đường thẳng $EK$ song song với $BC$ (theo giả thiết), do đó:
$$\angle EAD = \angle KAB \quad \text{(2)}$$

Vì $AD$ là phân giác của $\angle BAC$, nên:
$$\angle BAD = \angle DAC$$
Khi đó, từ (1) và (2), ta nhận thấy rằng:
$$\angle ADE = \angle ABE = \angle EAD = \angle KAB$$
Do đó, ta có:
$$\angle AED = \angle ADE$$
Từ đó, ta kết luận được rằng $AE = ED$ (mỗi cạnh đối diện với góc bằng nhau của tam giác cân).

### Bước 2: Chứng minh $AE = BK$
Ta đã có các đường thẳng song song $DE \parallel AB$ và $EK \parallel BC$, do đó, sử dụng định lý đường chéo trong tam giác, chúng ta có tỉ số:
- Từ tam giác $ABE$ và $AKB$:
$$\frac{AE}{AB} = \frac{AK}{BC} \quad \text{(3)}$$
Vì $DE \parallel AB$ và $EK \parallel BC$, theo định lý tiết diện, ta có:
$$\frac{AE}{EK} = \frac{AB}{BC} \quad \text{(4)}$$
Từ (3) và (4) suy ra rằng $AE = BK$ (từ tính chất tỷ lệ các cạnh tương ứng).

Cuối cùng, ta kết luận rằng:
1. Tam giác $AED$ là tam giác cân: $AE = ED$.
2. $AE = BK$.

Tóm lại, với các chứng minh trên, ta đã làm rõ rằng tam giác $AED$ cân và $AE = BK$.