Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
\frac{4}{x - 3} + \frac{1}{y + 1} = \frac{5}{4} \\
\frac{4}{x - 3} - \frac{3}{y + 1} = \frac{1}{4}
\end{cases}
\]

Gọi \( a = \frac{4}{x - 3} \) và \( b = \frac{1}{y + 1} \), ta có hệ phương trình trở thành:

\[
\begin{cases}
a + b = \frac{5}{4} \\
a - 3b = \frac{1}{4}
\end{cases}
\]

### Bước 1: Giải phương trình

Từ phương trình đầu tiên, ta có:
\[
b = \frac{5}{4} - a
\]

Thay \( b \) vào phương trình thứ hai:
\[
a - 3\left(\frac{5}{4} - a\right) = \frac{1}{4}
\]
Mở ngoặc:
\[
a - \frac{15}{4} + 3a = \frac{1}{4}
\]
Gộp lại:
\[
4a - \frac{15}{4} = \frac{1}{4}
\]
Thêm \( \frac{15}{4} \) vào cả hai vế:
\[
4a = \frac{1}{4} + \frac{15}{4}
\]
\[
4a = \frac{16}{4} = 4
\]
Chia cả hai vế cho 4:
\[
a = 1
\]

### Bước 2: Tìm \( b \)

Từ \( a + b = \frac{5}{4} \):
\[
1 + b = \frac{5}{4}
\]
Giải phương trình này:
\[
b = \frac{5}{4} - 1 = \frac{5}{4} - \frac{4}{4} = \frac{1}{4}
\]

### Bước 3: Tìm \( x \) và \( y \)

Từ \( a = \frac{4}{x - 3} \):
\[
1 = \frac{4}{x - 3}
\]
Suy ra:
\[
x - 3 = 4 \implies x = 7
\]

Từ \( b = \frac{1}{y + 1} \):
\[
\frac{1}{4} = \frac{1}{y + 1}
\]
Suy ra:
\[
y + 1 = 4 \implies y = 3
\]

### Kết quả

Giải của hệ phương trình là:
\[
(x, y) = (7, 3)
\]