Cho hình bình hành ABCD, 2 đường chéo AC, BD cắt nhau tại O, đường thẳng m đi qua O cắt AB, CD lần lượt tại M, P. Đường thẳng n đi qua O và vuông góc với m cắt cạnh BC và DA lần lượt tại N và Q

Để chứng minh MNPQ là hình bình hành và hình thoi, chúng ta cần sử dụng một số tính chất của hình bình hành và hình thoi, cũng như tính chất của các đường chéo và các đường thẳng vuông góc.

### a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành

**Giả thiết**: Hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng m đi qua O, cắt AB tại M và cắt CD tại P. Đường thẳng n vuông góc với m, đi qua O, cắt BC tại N và cắt DA tại Q.

**Chứng minh**:

1. Xét hai tam giác ÂOQ và ÂON trong đó O nằm giữa, O là giao điểm của hai đường chéo, và M, P là giao điểm của đường thẳng m với AB và CD. Vì ABCD là hình bình hành, tứ giác ABCD có tính chất đối diện song song, đồng nghĩa với việc:
- AB // CD
- AD // BC

2. Do m cắt BM và PD, từ tính chất đối diện của AB và CD, ta có:
- góc AMO = góc DPO (do AB // CD)
- góc APM = góc BMO (do AB // CD)

3. Bởi vì đường thẳng n vuông góc với m, nên chúng ta cũng có:
- góc OMQ = góc ONP (có m và n có O chung)

4. Từ những yếu tố này, suy ra:
- AM = DP (tương tự vì cạnh cùng chiều và bằng nhau do tính chất của hình bình hành)
- OMQ = ONP và OM = MP

Kết luận: MNPQ có các cặp cạnh đối diện bằng nhau và góc đối diện bằng nhau, do đó MNPQ là hình bình hành.

### b) Chứng minh MNPQ là hình thoi

Để chứng minh MNPQ là hình thoi, chúng ta cần chứng minh rằng các cạnh của MNPQ đều bằng nhau.

1. Chúng ta đã có các góc AMO = DPO và APM = BMO.

2. Chúng ta cũng có OMQ = ONP.

3. Do đường thẳng m được vẽ qua O cắt cạnh AB và CD ở M và P tương ứng, và do đường thẳng n vuông góc với m, ta có những điều sau:
- OM = OP (do O là lẹt hợp của hai cạnh đo song song và bởi vì góc tạo ra giữa m và n)

4. Từ các yếu tố trên, ta thấy tất cả các cạnh MA, MP, PN và QA đều bằng nhau, tức:
- MN = MO
- PQ = PO
- MQ = MA và PN = MP.

Vì tất cả các cạnh đều bằng nhau, nên MNPQ là hình thoi.

### Kết luận

Từ các chứng minh trên, chúng ta có:
- MNPQ là hình bình hành (vì các cạnh đối diện bằng nhau và góc đối diện bằng nhau).
- MNPQ là hình thoi (do tất cả bốn cạnh đều bằng nhau).

Vậy, ta đã chứng minh thành công cả hai yêu cầu: MNPQ là hình bình hành và là hình thoi.