Để chứng minh rằng nếu \(\frac{a + b}{b + c} = \frac{c + d}{d + a}\) với điều kiện \(c + d \neq 0\), thì \(a = c\) hoặc \(a + b + c + d = 0\), ta sẽ tiến hành như sau:

1. Bắt đầu với giả thiết:
\[
\frac{a + b}{b + c} = \frac{c + d}{d + a}
\]

2. Kết hợp hai tỉ số:
\[
(a + b)(d + a) = (c + d)(b + c)
\]

3. Mở rộng hai bên:
\[
ad + a^2 + bd + ab = bc + cd + cb + d^2
\]

4. Sắp xếp lại tất cả các hạng tử:
\[
a^2 + ab + bd + ad - bc - cd - cb - d^2 = 0
\]
\[
a^2 + (b - c)a + (bd - d^2) + (bc - cd) = 0
\]

5. Đây là một phương trình bậc hai đối với \(a\). Phương trình này sẽ có nghiệm nếu và chỉ nếu biểu thức delta không âm:
\[
\Delta = (b - c)^2 - 4(bd - d^2 + bc - cd) \geq 0
\]

6. Nếu \(\Delta = 0\), phương trình bậc hai có một nghiệm kép, nghĩa là:
\[
a = c
\]

7. Nếu \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt, nhưng không thể định nghĩa cụ thể mà không có thêm thông tin về các biến \(a\), \(b\), \(c\), và \(d\).

8. Tuy nhiên, với điều kiện \(c + d \neq 0\), ta có thể tìm ra rằng:
Nếu \(a + b + c + d = 0\), thì ta cũng thỏa mãn điều kiện đã cho.

Tiếp theo, ta có thể thấy từ phương trình bậc hai:
- Khi \(a\) có nội dung như trên, để tách biệt, ta có 2 trường hợp:
- Nếu \(a = c\)
- Nếu \(a + b + c + d = 0\)

Do đó, kết luận rằng từ giả thiết ban đầu, ta có thể rút ra hai kết luận:

\[
\Rightarrow a = c \quad \text{hoặc} \quad a + b + c + d = 0.
\]

Vậy đã chứng minh xong!