Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
\frac{4}{x-3} + \frac{1}{y+1} = 1 \\
\frac{3}{x-3} - \frac{1}{y+1} = \frac{1}{4}
\end{cases}
\]

Ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Biến đổi phương trình đầu tiên:**

Từ phương trình đầu tiên:
\[
\frac{4}{x-3} + \frac{1}{y+1} = 1
\]
Sắp xếp lại:
\[
\frac{1}{y+1} = 1 - \frac{4}{x-3}
\]
hay
\[
\frac{1}{y+1} = \frac{(x-3) - 4}{x-3} = \frac{x-7}{x-3}
\]
Vậy:
\[
y + 1 = \frac{x-3}{x - 7} \implies y = \frac{x-3}{x-7} - 1
\]

2. **Thay \(y\) vào phương trình thứ hai:**

Từ phương trình thứ hai:
\[
\frac{3}{x-3} - \frac{1}{y+1} = \frac{1}{4}
\]
Thay giá trị của \(\frac{1}{y+1}\):
\[
\frac{3}{x-3} - \frac{x - 7}{x - 3} = \frac{1}{4}
\]
Gộp lại:
\[
\frac{3 - (x-7)}{x-3} = \frac{1}{4} \implies \frac{10 - x}{x-3} = \frac{1}{4}
\]
Từ đó, nhân chéo:
\[
4(10 - x) = x - 3 \implies 40 - 4x = x - 3
\]
Gộp lại:
\[
40 + 3 = 5x \implies 43 = 5x \implies x = \frac{43}{5} = 8.6
\]

3. **Tính \(y\):**

Thay \(x = 8.6\) vào công thức tìm \(y\):
\[
y = \frac{8.6 - 3}{8.6 - 7} - 1 = \frac{5.6}{1.6} - 1 = 3.5 - 1 = 2.5
\]

4. **Kết quả:**
\[
x = 8.6, \quad y = 2.5
\]

Kết quả cuối cùng là:
\[
\begin{cases}
x = 8.6 \\
y = 2.5
\end{cases}
\]

Xem lại các phương án A, B, C, D để so sánh, có thể không trùng với các giá trị đó, nhưng đây chính là nghiệm của hệ phương trình đã cho.