Để tính biểu thức \( S = \frac{5}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{5}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{5}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \ldots + \frac{5}{18 \cdot 19 \cdot 20} - 1 \), ta có thể sử dụng công thức:

\[
\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{2}{n+1} + \frac{1}{n+2} \right)
\]

Áp dụng với \( n = 1, 2, \ldots, 18 \):

Ta có:

\[
S = 5 \cdot \left( \sum_{n=1}^{18} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \right) - 1
\]

Khi áp dụng công thức trên vào từng phần, ta sẽ thu được:

\[
S = 5 \cdot \sum_{n=1}^{18} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{2}{n+1} + \frac{1}{n+2} \right)
\]

Tiếp tục tính tổng:

\[
= \frac{5}{2} \left( \sum_{n=1}^{18} \frac{1}{n} - 2 \sum_{n=1}^{18} \frac{1}{n+1} + \sum_{n=1}^{18} \frac{1}{n+2} \right)
\]

Biểu thức trên khi tính trị sẽ dẫn đến việc giảm bớt các hạng tử và sau đó tính riêng từng phần:

Khi tính chi tiết, kết quả cuối cùng sẽ là:

\[
S = 5 \cdot \left( \frac{1}{6} \cdot (1 + 1/2 - 1) \right) - 1 = 5 \cdot \frac{1}{6} - 1 = \frac{5}{6} - 1 = -\frac{1}{6}
\]

Do đó, giá trị cuối cùng là:

\[
-6
\]

Vậy giá trị của biểu thức là \(-\frac{1}{6}\).