Tìm GTLN của P = -2x^2 - 5y^2 + 6xy - 18x + 28y - 7

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức \( P = -2x^2 - 5y^2 + 6xy - 18x + 28y - 7 \), chúng ta có thể sử dụng phương pháp tìm cực trị của hàm bậc hai nhiều biến.

Đầu tiên, chúng ta có thể viết lại biểu thức \( P \) dưới dạng ma trận:

\[
P = \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 3 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -18 & 28 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} - 7
\]

Ở đây, ma trận \( A = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 3 & -5 \end{bmatrix} \) là ma trận hệ số của các biến, và chúng ta cần kiểm tra tính xác định của ma trận này.

Tính định thức của ma trận \( A \):

\[
\text{det}(A) = (-2)(-5) - (3)(3) = 10 - 9 = 1
\]

Vì định thức của ma trận \( A \) dương và hệ số của \( x^2 \) là \( -2 \) (tức là âm), ma trận này là xác định âm. Điều này cho biết rằng hàm số \( P \) có cực đại.

Tiếp theo, ta tìm các điểm cực trị bằng cách giải hệ phương trình đạo hàm bậc nhất bằng 0.

Tính đạo hàm từng phần:

\[
\frac{\partial P}{\partial x} = -4x + 6y - 18
\]
\[
\frac{\partial P}{\partial y} = -10y + 6x + 28
\]

Đặt các đạo hàm này bằng 0:

1. \(-4x + 6y - 18 = 0\)
2. \(-10y + 6x + 28 = 0\)

Từ phương trình đầu tiên, ta có:

\[
6y = 4x + 18 \Rightarrow y = \frac{2}{3}x + 3
\]

Thay giá trị của \( y \) vào phương trình thứ hai:

\[
-10\left(\frac{2}{3}x + 3\right) + 6x + 28 = 0
\]

Giải phương trình này:

\[
-\frac{20}{3}x - 30 + 6x + 28 = 0
\]

Chuyển đổi về một phương trình với \( x \):

\[
-\frac{20}{3}x + \frac{18}{3}x - 30 + 28 = 0
\]
\[
-\frac{2}{3}x - 2 = 0 \Rightarrow -2 = \frac{2}{3}x \Rightarrow x = -3
\]

Thay \( x = -3 \) vào phương trình \( y = \frac{2}{3}(-3) + 3 \):

\[
y = -2 + 3 = 1
\]

Vậy điểm cực đại là \( (x, y) = (-3, 1) \).

Cuối cùng, tính giá trị của \( P \) tại điểm này:

\[
P(-3, 1) = -2(-3)^2 - 5(1)^2 + 6(-3)(1) - 18(-3) + 28(1) - 7
\]
\[
= -2(9) - 5(1) - 18 + 54 + 28 - 7
\]
\[
= -18 - 5 - 18 + 54 + 28 - 7
\]
\[
= 36
\]

Vậy giá trị lớn nhất của \( P \) là **36**.