Chúng ta sẽ phân tích từng đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm.

### a. \( a^3 - a^2x - ay + xy \)

Bước 1: Nhóm các số hạng lại:
\[
(a^3 - a^2x) + (-ay + xy)
\]

Bước 2: Phân tích từng nhóm:
\[
a^2(a - x) - y(a - x)
\]

Bước 3: Nhóm nhân tử chung:
\[
(a^2 - y)(a - x)
\]

Vậy, phân tích đa thức này là:
\[
(a - x)(a^2 - y)
\]

---

### b. \( xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz \)

Bước 1: Nhóm các số hạng:
\[
xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + xyz + xyz
\]

Bước 2: Sắp xếp lại và nhóm:
\[
xy(x + y) + xyz + xz(x + z) + yz(y + z)
\]

Bước 3: Tách các nhóm:
\[
xy(x + y) + xz(x + z) + yz(y + z) + xyz = xy(x + y + z) + xz(x + z) + yz(y + z)
\]

Hãy cố gắng xác định một cách rõ ràng để nhóm lại:
\[
(xy + yz + zx)(x + y + z)
\]

Vậy nên, phân tích nhân tử của đa thức này là:
\[
(xy + xz + yz)(x + y + z)
\]

---

### c. \( 4x^2 - y^2 + 4x + 1 \)

Bước 1: Sắp xếp lại cho hợp lý:
\[
4x^2 + 4x - y^2 + 1
\]

Bước 2: Nhóm:
\[
(4x^2 + 4x + 1) - y^2
\]

Bước 3: Tính toán nhóm và phân tích:
\[
(2x + 1)^2 - y^2
\]

Áp dụng công thức hạng tử bậc 2:
\[
(2x + 1 - y)(2x + 1 + y)
\]

Vậy, phân tích đa thức này là:
\[
(2x + 1 - y)(2x + 1 + y)
\]

---

### d. \( x^3 - x + y^3 - y \)

Bước 1: Nhóm các số hạng:
\[
(x^3 - x) + (y^3 - y)
\]

Bước 2: Phân tích từng nhóm:
\[
x(x^2 - 1) + y(y^2 - 1)
\]

Rồi áp dụng công thức:
\[
x(x - 1)(x + 1) + y(y - 1)(y + 1)
\]

Bước 3: Ta có thể viết lại thành:
\[
(x - 1)(x + 1)x + (y - 1)(y + 1)y
\]

Tuy nhiên, có thể khó nhóm lại ở đây. Chúng ta có thể giữ nguyên.
Vậy, đa thức này không hoàn toàn rõ ràng để phân tích nữa.

Vậy phân tích cũng có thể chưa đạt được kiểu chuẩn, một cách hợp lý hơn là:
\[
(x^3 + y^3) - (x + y) = (x + y)(x^2 - xy + y^2) - (x + y) = (x + y)((x^2 - xy + y^2) - 1)
\]

Kết quả vậy vẫn có thể là gì khác, nhưng ta dừng lại ở đây để tránh nhầm lẫn.

Trên đây là phân tích đa thức thành nhân tử cho các bài toán đã cho.