Tìm số nguyên dương n và cá số nguyên tố p, q thỏa mã đẳng thức

Để giải bài toán, chúng ta cần tìm số nguyên dương \( n \) và các số nguyên tố \( p, q \) thỏa mãn đẳng thức:

\[
1! + 2! + 3! + \ldots + n! = 32(p^2 + q^2) + 297
\]

Đầu tiên, ta cần tính tổng \( 1! + 2! + 3! + \ldots + n! \) cho các giá trị nhỏ của \( n \).

- Với \( n = 1 \):
\[
1! = 1
\]

- Với \( n = 2 \):
\[
1! + 2! = 1 + 2 = 3
\]

- Với \( n = 3 \):
\[
1! + 2! + 3! = 1 + 2 + 6 = 9
\]

- Với \( n = 4 \):
\[
1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33
\]

- Với \( n = 5 \):
\[
1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 33 + 120 = 153
\]

- Với \( n = 6 \):
\[
1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! = 153 + 720 = 873
\]

- Với \( n = 7 \):
\[
1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + 7! = 873 + 5040 = 5913
\]

Tiếp theo, ta sẽ thay các giá trị này vào đẳng thức \( 1! + 2! + 3! + \ldots + n! = 32(p^2 + q^2) + 297 \) và kiểm tra tính khả thi cho \( p^2 + q^2 \).

- Với \( n = 1 \):
\[
1 = 32(p^2 + q^2) + 297 \quad \Rightarrow \quad 32(p^2 + q^2) = 1 - 297 \quad \Rightarrow \quad -296 \text{ (không hợp lệ)}
\]

- Với \( n = 2 \):
\[
3 = 32(p^2 + q^2) + 297 \quad \Rightarrow \quad 32(p^2 + q^2) = 3 - 297 \quad \Rightarrow \quad -294 \text{ (không hợp lệ)}
\]

- Với \( n = 3 \):
\[
9 = 32(p^2 + q^2) + 297 \quad \Rightarrow \quad 32(p^2 + q^2) = 9 - 297 \quad \Rightarrow \quad -288 \text{ (không hợp lệ)}
\]

- Với \( n = 4 \):
\[
33 = 32(p^2 + q^2) + 297 \quad \Rightarrow \quad 32(p^2 + q^2) = 33 - 297 \quad \Rightarrow \quad -264 \text{ (không hợp lệ)}
\]

- Với \( n = 5 \):
\[
153 = 32(p^2 + q^2) + 297 \quad \Rightarrow \quad 32(p^2 + q^2) = 153 - 297 \quad \Rightarrow \quad -144 \text{ (không hợp lệ)}
\]

- Với \( n = 6 \):
\[
873 = 32(p^2 + q^2) + 297 \quad \Rightarrow \quad 32(p^2 + q^2) = 873 - 297 \quad \Rightarrow \quad 32(p^2 + q^2) = 576 \quad \Rightarrow \quad p^2 + q^2 = 18
\]

Ta cần tìm các số nguyên tố \( p, q \) sao cho \( p^2 + q^2 = 18 \). Xét các khả năng cho \( p, q \):
- Nếu \( p = 3 \), thì \( q^2 = 9 \rightarrow q = 3 \). Được cặp \( (3, 3) \).

- Nếu \( p = 1 \), thì \( q^2 = 17 \rightarrow q \text{ không phải là số nguyên tố.} \)

- Nếu \( p = 2 \), không đủ với con số nguyên tố.

Như vậy, cặp duy nhất thỏa mãn là \( (3, 3) \).

Tương tự, kiểm tra với \( n=7 \) thì:
\[
5913 = 32(p^2 + q^2) + 297 \quad \Rightarrow \quad 32(p^2 + q^2) = 5913 - 297 \quad \Rightarrow \quad 32(p^2 + q^2) = 5616 \quad \Rightarrow \quad p^2 + q^2 = 176
\]

Kiểm tra cho \( p^2 + q^2 = 176 \):
Không có số nguyên tố tích hợp cho \( 176 \).

Cuối cùng, kết luận số nguyên dương duy nhất thỏa mãn là:

\((n, p, q) = (6, 3, 3)\).