Để giải bài toán về biểu thức \( A \), ta thực hiện các bước sau:

### a) Rút gọn biểu thức \( A \)

Biểu thức \( A \) được cho là:

\[
A = \frac{x+1}{x-2} + \frac{x-1}{x+2} + \frac{x^2 + 4x}{4 - x^2}
\]

Đầu tiên, ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức.

1. **Rút gọn \( \frac{x^2 + 4x}{4 - x^2} \)**:
- Nhận thấy rằng \( 4 - x^2 = -(x^2 - 4) = -(x - 2)(x + 2) \).
- Vì vậy:
\[
\frac{x^2 + 4x}{4 - x^2} = \frac{x(x + 4)}{-(x - 2)(x + 2)} = -\frac{x(x + 4)}{(x - 2)(x + 2)}
\]

2. **Tìm mẫu chung cho các phân số**:
- Mẫu chung của các phân số là \((x-2)(x+2)\).
- Viết lại biểu thức \( A \):
\[
A = \frac{(x+1)(x+2) + (x-1)(x-2) - x(x+4)}{(x-2)(x+2)}
\]

3. **Rút gọn tử số**:
- Tính từng phần:
- \( (x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2 \)
- \( (x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2 \)
- Thay vào tử số:
\[
(x^2 + 3x + 2) + (x^2 - 3x + 2) - x(x + 4) = 2x^2 + 4 - (x^2 + 4x) = x^2 - 4x + 4
\]
- Đặt lại:
\[
A = \frac{x^2 - 4x + 4}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-2}{x+2} \quad (x \neq 2)
\]

### b) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 4 \)

Ta thay \( x = 4 \) vào biểu thức đã rút gọn:

\[
A = \frac{4-2}{4+2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]

### c) Tìm giá trị nguyên của \( x \) để biểu thức \( A \) nhận giá trị nguyên dương

Từ biểu thức đã rút gọn:

\[
A = \frac{x-2}{x+2}
\]

Để \( A \) là giá trị nguyên dương, điều kiện là:

\[
\frac{x-2}{x+2} > 0 \Rightarrow \text{Cả tử và mẫu cùng dấu}
\]

1. **Trường hợp 1**: Cả tử và mẫu dương:
\[
x - 2 > 0 \quad \text{và} \quad x + 2 > 0 \Rightarrow x > 2
\]

2. **Trường hợp 2**: Cả tử và mẫu âm:
\[
x - 2 < 0 \quad \text{và} \quad x + 2 < 0 \Rightarrow x < -2
\]

### Kết luận

Giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) là số nguyên dương là \( x = 3, 4, 5, \ldots \) (các số nguyên lớn hơn 2).