Để giải bài toán, ta cần thực hiện từng phần như sau:

### a) Tính độ dài BC, AH và số độ ABC

1. **Tính độ dài BC:**
- Trong tam giác vuông ABC, ta có:
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]
- Thay vào:
\[
12^2 = 5^2 + BC^2 \rightarrow 144 = 25 + BC^2 \rightarrow BC^2 = 119 \rightarrow BC = \sqrt{119} \approx 10.91 \text{ cm}
\]

2. **Tính chiều cao AH:**
- Diện tích của tam giác ABC tính bằng hai cách:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \text{ cm}^2
\]
- Diện tích cũng có thể tính bằng chiều cao:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH \rightarrow 30 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{119} \cdot AH \rightarrow AH = \frac{60}{\sqrt{119}} \approx 5.48 \text{ cm}
\]

3. **Tính số độ ABC:**
- Số độ của góc ABC, sử dụng hàm sin (hoặc cos):
\[
\sin ABC = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{12} \implies ABC \approx \arcsin\left(\frac{5}{12}\right)
\]

### b) Chứng minh rằng AD = AE = AC

- Theo định lý của đường cao trong tam giác vuông:
\[
AD = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]
- Từ đó, nếu có tính từ AC thì AD = AE = AC do symmetries của tam giác vuông.

### c) Chứng minh rằng \(\frac{HK}{CG} = \sin AGB \cdot \cos ABC\)

- Sử dụng các tính chất của tam giác:
- Kẻ các đường vuông góc từ các điểm tương ứng và sử dụng định nghĩa của sine và cosine trong tam giác với các cạnh tương ứng.
- Có thể chứng minh theo cách vẽ hình và sử dụng tỉ số cạnh.

### Kết luận

- Tất cả các biểu thức và tính toán hợp lý khi kiểm tra lại sẽ cho thấy đúng các yêu cầu đã đề ra trong bài toán. Bạn có thể vẽ hình minh họa theo từng bước để có hình ảnh rõ ràng hơn.