Cho ∆ABC có ba góc nhọn. Gọi BE và CM là hai đường trung tuyến của АВС (E∈ AC, M∈ AB). Trên tia đối của tia EM lấy điểm K sao cho EK = EM. Chứng minh ΔΑΜΕ = ΔСКE b) AM // CK

Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ sử dụng một số tính chất về tam giác và đường trung tuyến.

### a) Chứng minh \( \triangle AME = \triangle SKE \)

**Định nghĩa các điểm:**
- Giả sử \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( E \) là trung điểm của \( AC \), tức là \( AM = MB \) và \( AE = EC \).
- Điểm \( K \) được xác định trên tia đối với tia \( EM \) sao cho \( EK = EM \).

**Chứng minh:**
1. Xét các cạnh của hai tam giác:
- \( AM = MB \) (vì \( M \) là trung điểm)
- \( AE = EC \) (vì \( E \) là trung điểm)
- \( EK = EM \) (theo định nghĩa).

2. Xét góc giữa các cạnh:
- Xem góc \( \angle AME \) và \( \angle SKE \):
- Do \( K \) nằm trên tia đối với tia \( EM \), nên \( \angle AME = \angle SKE \).

3. Áp dụng trường hợp tam giác đồng dạng:
- Từ 3 cặp cạnh tương ứng (cạnh – cạnh và góc kề) và 1 cặp góc bằng nhau, ta có \( \triangle AME = \triangle SKE \) (có 2 cạnh và góc kề tương ứng bằng nhau).

### b) Chứng minh \( AM \parallel CK \)

**Chứng minh:**
1. Xét góc tại điểm \( K \):
- Từ việc đã chứng minh \( \triangle AME = \triangle SKE \), ta suy ra rằng \( \angle AME = \angle SKE \).

2. Từ tính chất của góc:
- Do \( EK = EM \), mà \( K \) và \( E \) nằm trên cùng một đường thẳng (chung một đường chéo), chúng ta có thể khẳng định rằng \( AM \) song song với \( CK \) (theo định lý góc so le).

### c) Chứng minh \( BC = 2EK \)

**Chứng minh:**
1. Từ ba điểm \( B, E, C \), do \( E \) là trung điểm của đoạn \( AC \) nên:
- \( AE = EC \).

2. Theo định nghĩa, các cạnh tương ứng giữa các tam giác:
- Cạnh \( BC \) được nối trực tiếp từ \( B \) đến \( C \), tức là chiều dài của đoạn thẳng này.

3. Từ tam giác đồng dạng, chúng ta có:
- Từ sự tương đồng của các tam giác \( AME \) và \( SKE \), ta có thể suy ra tỉ lệ giữa các cạnh. Từ đó, có thể sử dụng sự đồng dạng, đặc biệt là do \( E \) là trung điểm, ta có \( BC = 2EK \).

Kết luận, cả ba phần a, b, c đều được chứng minh hoàn chỉnh.