Tính phép sau nhanh nhất S = 1/2^2 - 1/2^4 + 1/2^6 -....+1/2^n - 2

Để tính giá trị của tổng \( S = \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^6} - \ldots + (-1)^{\frac{n}{2}} \frac{1}{2^n} - 2 \), ta sẽ phân tích từng phần của biểu thức.

Nhận thấy rằng các hạng tử của tổng \( S \) là một chuỗi hình học với số hạng đầu tiên là \( \frac{1}{4} \) và tỷ số là \( -\frac{1}{4} \) (từ \( \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \) và hạng tử tiếp theo là \( -\frac{1}{16} = -\frac{1}{4^2} \)).

Cụ thể, tổng này có thể viết lại như sau:

\[
S = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{4} + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 - \ldots + (-1)^{\frac{n}{2}} \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{n}{2} - 1} \right)
\]

Sử dụng công thức tổng của chuỗi số hạng hình học:

\[
S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

với \( a = \frac{1}{4} \), \( r = -\frac{1}{4} \), và \( n = \frac{n}{2} \):

Tổng này có thể được viết như sau:

\[
S = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - (-\frac{1}{4})^{\frac{n}{2}}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - (-\frac{1}{4})^{\frac{n}{2}}}{\frac{5}{4}} = \frac{1 - (-\frac{1}{4})^{\frac{n}{2}}}{5}
\]

Sau đó, ta sẽ trừ đi 2:

\[
S - 2 = \frac{1 - (-\frac{1}{4})^{\frac{n}{2}}}{5} - 2
\]

Để đảm bảo \( S < 0.2 \), ta cần giải bất phương trình này. Giải như sau:

\[
\frac{1 - (-\frac{1}{4})^{\frac{n}{2}}}{5} < 2.2 \implies 1 - (-\frac{1}{4})^{\frac{n}{2}} < 11
\]

Ta có thể tính tiếp để tìm giá trị \( n \) mà thỏa mãn bất phương trình, nhưng giả sử \( n \) đủ lớn, \( (-\frac{1}{4})^{\frac{n}{2}} \) sẽ tiến tới 0. Do đó, Tổng \( S \) sẽ hội đủ điều kiện:

\[
S < 0.2
\]

Vậy \( n \) phải được chọn sao cho điều kiện này thỏa mãn, chẳng hạn như \( n = 6 \) hoặc nhỏ hơn.