Để chứng minh \(6n + 1\) và \(5n + 1\) là nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên \(n\) khác 0, ta tiến hành như sau:

Gọi \(d\) là ước chung lớn nhất của \(6n + 1\) và \(5n + 1\). Nghĩa là:

\[
d \mid (6n + 1) \quad \text{và} \quad d \mid (5n + 1)
\]

Từ đó, ta có thể viết:

\[
d \mid [(6n + 1) - (5n + 1)] = n
\]

Điều này có nghĩa là \(d\) cũng chia hết cho \(n\).

Tiếp theo, ta có thể tính \(d\) trong trường hợp cụ thể hơn. Chúng ta có thể viết \(d\) cũng chia hết cho các tổ hợp khác của hai biểu thức trên. Cụ thể:

\[
d \mid [6(5n + 1) - 5(6n + 1)] = 30n + 6 - 30n - 5 = 1
\]

Vậy, \(d\) chỉ có thể là 1. Do đó, \(6n + 1\) và \(5n + 1\) là nguyên tố cùng nhau.

### Kết luận
Vì tất cả các phép toán trên đều đúng với mọi \(n > 0\), ta khẳng định rằng \(6n + 1\) và \(5n + 1\) là nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên \(n\) khác 0.