Tìm số nguyên tố p sao cho p+56 và p+58 đều là số nguyên tố

Để tìm số nguyên tố \( p \) sao cho \( p + 56 \) và \( p + 58 \) đều là số nguyên tố, chúng ta có thể phân tích các điều kiện trên.

Giả sử \( p \) là số nguyên tố, ta kiểm tra các trường hợp của \( p \).

1. **Trường hợp \( p = 2 \)**:
- \( p + 56 = 2 + 56 = 58 \) (không phải là số nguyên tố)
- Do đó, không có nghiệm.

2. **Trường hợp \( p \) là số nguyên tố lẻ**:
Các số nguyên tố lẻ đều có dạng \( p \equiv 1 \) hoặc \( p \equiv 3 \) modulo 6:
- Nếu \( p \equiv 1 \mod 6 \) thì \( p + 56 \equiv 1 + 2 \equiv 3 \mod 6\) (có thể không là số nguyên tố nếu \( p+56 > 3 \)).
- Nếu \( p \equiv 3 \mod 6 \) thì \( p + 56 \equiv 3 + 2 \equiv 1 \mod 6\) (có thể là số nguyên tố).

Tiếp theo, ta sẽ kiểm tra các số nguyên tố nhỏ hơn 100 để tìm ra số nguyên tố \( p \):

- **Khi \( p = 3 \)**:
- \( p + 56 = 59 \) (là số nguyên tố)
- \( p + 58 = 61 \) (là số nguyên tố)
- Vậy \( p = 3 \) là một nghiệm.

- **Khi \( p = 5 \)**:
- \( p + 56 = 61 \) (là số nguyên tố)
- \( p + 58 = 63 \) (không phải là số nguyên tố)

- **Khi \( p = 7 \)**:
- \( p + 56 = 63 \) (không phải là số nguyên tố)

- **Khi \( p = 11 \)**:
- \( p + 56 = 67 \) (là số nguyên tố)
- \( p + 58 = 69 \) (không phải là số nguyên tố)

- **Khi \( p = 13 \)**:
- \( p + 56 = 69 \) (không phải là số nguyên tố)

- **Khi \( p = 17 \)**:
- \( p + 56 = 73 \) (là số nguyên tố)
- \( p + 58 = 75 \) (không phải là số nguyên tố)

- **Khi \( p = 19 \)**:
- \( p + 56 = 75 \) (không phải là số nguyên tố)

- **Khi \( p = 23 \)**:
- \( p + 56 = 79 \) (là số nguyên tố)
- \( p + 58 = 81 \) (không phải là số nguyên tố)

- **Khi \( p = 29 \)**:
- \( p + 56 = 85 \) (không phải là số nguyên tố)

- **Khi \( p = 31 \)**:
- \( p + 56 = 87 \) (không phải là số nguyên tố)

- **Khi \( p = 37 \)**:
- \( p + 56 = 93 \) (không phải là số nguyên tố)

- **Khi \( p = 41 \)**:
- \( p + 56 = 97 \) (là số nguyên tố)
- \( p + 58 = 99 \) (không phải là số nguyên tố)

- **Khi \( p = 43 \)**:
- \( p + 56 = 99 \) (không phải là số nguyên tố)

- **Khi \( p = 47 \)**:
- \( p + 56 = 103 \) (là số nguyên tố)
- \( p + 58 = 105 \) (không phải là số nguyên tố)

- **Khi \( p = 53 \)**:
- \( p + 56 = 109 \) (là số nguyên tố)
- \( p + 58 = 111 \) (không phải là số nguyên tố)

- **Khi \( p = 59 \)**:
- \( p + 56 = 115 \) (không phải là số nguyên tố)

- **Khi \( p = 61 \)**:
- \( p + 56 = 117 \) (không phải là số nguyên tố)

- **Khi \( p = 67 \)**:
- \( p + 56 = 123 \) (không phải là số nguyên tố)

- **Khi \( p = 71 \)**:
- \( p + 56 = 127 \) (là số nguyên tố)
- \( p + 58 = 129 \) (không phải là số nguyên tố)

- **Khi \( p = 73 \)**:
- \( p + 56 = 129 \) (không phải là số nguyên tố)

- **Khi \( p = 79 \)**:
- \( p + 56 = 135 \) (không phải là số nguyên tố)

- **Khi \( p = 83 \)**:
- \( p + 56 = 139 \) (là số nguyên tố)
- \( p + 58 = 141 \) (không phải là số nguyên tố)

- **Khi \( p = 89 \)**:
- \( p + 56 = 145 \) (không phải là số nguyên tố)

- **Khi \( p = 97 \)**:
- \( p + 56 = 153 \) (không phải là số nguyên tố)

Từ các phép kiểm tra trên, ta thấy rằng chỉ có \( p = 3 \) là giá trị duy nhất thỏa mãn cả hai điều kiện \( p + 56 \) và \( p + 58 \) đều là số nguyên tố.

Vậy, số nguyên tố \( p \) là:
\[
\boxed{3}
\]