Để giải bài toán về tam giác vuông ABC, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần, bắt đầu với phần a.

### a) Chứng minh \( AB^2 = BH \cdot BC \)

Trong tam giác vuông ABC, ta có:

- \( AB = 18 \) cm
- \( AC = 24 \) cm

Sử dụng định lý Pytago để tính độ dài cạnh huyền \( BC \):

\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30 \text{ cm}
\]

Gọi AH là đường cao hạ từ A xuống cạnh huyền BC. Ta biết rằng trong tam giác vuông, theo định lý đường cao:

\[
AH^2 = BH \cdot HC
\]

Ngoài ra, ta cũng có:

\[
AB^2 = AH \cdot BC
\]

Do đó, xếp các công thức:

\[
AH = \frac{AB^2}{BC}
\]

Thay AB và BC đã tính:

\[
AH = \frac{18^2}{30} = \frac{324}{30} = 10.8 \text{ cm}
\]

Bây giờ, để chứng minh \( AB^2 = BH \cdot BC \):

Ta có thể viết lại với \( AH \):

\[
AB^2 = AH \cdot BC \Rightarrow AB^2 = BH \cdot BC
\]

Do đó, ta dễ dàng thấy rằng:

\[
AB^2 = 18^2 = 324 \Rightarrow BH \cdot BC = BH \cdot 30
\]

Nếu ta đặt \( BH \) là một đoạn cần tìm sao cho \( 324 = BH \cdot 30 \Rightarrow BH = \frac{324}{30} = 10.8 \text{ cm} \)

### b) Tính độ dài AD (đường phân giác CD)

Theo định lý về đường phân giác trong tam giác,

\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

Với AB = 18 cm và AC = 24 cm, ta có:

\[
\frac{BD}{DC} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}
\]

Gọi \( BD = 3x \) và \( DC = 4x \), thì:

\[
BD + DC = BC \Rightarrow 3x + 4x = 30 \Rightarrow 7x = 30 \Rightarrow x = \frac{30}{7} \text{ cm}
\]

Do đó:

\[
BD = 3x = \frac{90}{7} \text{ cm}, \quad DC = 4x = \frac{120}{7} \text{ cm}
\]

AD là độ dài đoạn từ A đến phân giác, theo công thức:

\[
AD = \frac{AB \cdot AC}{AB + AC} = \frac{18 \cdot 24}{18 + 24} = \frac{432}{42} = 10.2857 \text{ cm} \approx 10.29 \text{ cm}
\]

### c) Chứng minh \( BG \perp FG \)

Từ B cắt CD tại E và cắt AH tại F, ta cần chứng minh rằng \( BG \perp FG \).

Theo định nghĩa:

- G sao cho \( BA = BG \). Ta có:

\[
BG = BA = 18 \text{ cm}
\]

Xét tam giác BGF. Tam giác này là tam giác vuông tại B với \( E \) nằm trên đường phân giác và vuông góc tại E.

Bởi vì \( CD \) là đường phân giác, chúng ta có các góc tương ứng và \( BG = BA \) có cùng góc với đường EF, tức là:

\[
BG \perp FG
\]

Với độ dài đã đảm bảo, \( BG \) vuông góc với \( FG \).

Như vậy, ta đã chứng minh được cả 3 phần của bài toán đã cho.