Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( f(x) = x^2 + \frac{16}{x^2} \), ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm để tìm điểm cực trị.

1. **Tính đạo hàm:**

\[
f'(x) = 2x - \frac{32}{x^3}
\]

2. **Giải phương trình đạo hàm bằng 0:**

\[
2x - \frac{32}{x^3} = 0
\]

Đưa mọi thứ về cùng một bên và nhân cả hai vế với \( x^3 \) (với \( x > 0 \)):

\[
2x^4 - 32 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x^4 = 32 \quad \Rightarrow \quad x^4 = 16 \quad \Rightarrow \quad x = 2
\]

3. **Kiểm tra cực trị bằng cách dùng đạo hàm bậc hai:**

Tính đạo hàm bậc hai:

\[
f''(x) = 2 + \frac{96}{x^4}
\]

Khi \( x = 2 \):

\[
f''(2) = 2 + \frac{96}{2^4} = 2 + \frac{96}{16} = 2 + 6 = 8
\]

Vì \( f''(2) > 0 \), điểm \( x = 2 \) là điểm cực tiểu.

4. **Tính giá trị nhỏ nhất:**

Tính giá trị của \( f(2) \):

\[
f(2) = 2^2 + \frac{16}{2^2} = 4 + \frac{16}{4} = 4 + 4 = 8
\]

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( x^2 + \frac{16}{x^2} \) là \( \boxed{8} \).