Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[
P = \frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b} + \frac{1}{2-c}
\]

với điều kiện \( a^3 + b^3 + c^3 = 3 \) và \( a, b, c > 0 \), chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
\left( \frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b} + \frac{1}{2-c} \right) \left( (2-a) + (2-b) + (2-c) \right) \geq (1 + 1 + 1)^2 = 9
\]

Hay nói cách khác:

\[
P \cdot (6 - (a + b + c)) \geq 9
\]

Từ đây, ta có thể suy ra:

\[
P \geq \frac{9}{6 - (a + b + c)}
\]

Từ điều kiện \( a^3 + b^3 + c^3 = 3 \), theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\[
\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}
\]

Vì \( a,b,c > 0 \), ta có \( a+b+c \geq 3\). Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \), thì \( a + b + c \) nên bằng 3. Khi đó mọi số cặp sẽ được:

\[
P \geq \frac{9}{6 - 3} = 3.
\]

Để kiểm tra sự đạt được giá trị này, chúng ta đặt \( a = b = c = 1 \), sẽ có:

\[
P = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 3.
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là \( \boxed{3} \).