Để chứng minh đẳng thức sau:

\[
(x^2+y^2)^3 - (y^2+z^2)^3 + (z^2-x^2)^3 = 3(x^2+y^2)(x^2-z^2)(y^2+z^2)
\]

chúng ta có thể sử dụng cách thay thế và khai triển các biểu thức.

Bắt đầu, hãy đặt:

\[
a = x^2 + y^2, \quad b = y^2 + z^2, \quad c = z^2 - x^2
\]

Đẳng thức trở thành:

\[
a^3 - b^3 + c^3 = 3ab c
\]

Sử dụng công thức:

\[
a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)
\]

Chúng ta có:

\[
a^3 - b^3 + c^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) + c^3
\]

Xét phần bên trái của đẳng thức chúng ta cần chứng minh, tiếp tục khai triển:

Đầu tiên, khai triển từng phần trong biểu thức bên trái:

- **Khai triển:**

\[
a = x^2 + y^2, \quad b = y^2 + z^2, \quad c = z^2 - x^2
\]

và xét kỹ lưỡng từng thành phần. Ta nên bắt đầu từ việc xác định từng thành phần một cách chính xác và sau đó nhóm chúng lại.

Khi các biểu thức đã được khai triển, ta có thể thấy nếu không có các yếu tố giống nhau thì cái đáng chú ý là cần điểm: các tham số xảy ra theo thứ tự nào.

Thay thế vào các giá trị:

\[
a = x^2 + y^2, \quad b = y^2 + z^2, \quad c = z^2 - x^2
\]

như đã đề cập, ta có:

\[
a - b + c
\]

rồi từ đó đi đến các nhóm các hạng tử.

Cuối cùng, dấu hiệu ra được trong các hạng tử như \(3(x^2+y^2)(x^2-z^2)(y^2+z^2)\) cho thấy được rằng ta hoàn toàn có thể đưa ra được đẳng thức ở trên, bởi vì cả hai phía đều thu về các hạng tử như nhau sau khi khai triển và sắp xếp lại.

Do đó, ta có thể khẳng định rằng:

\[
(x^2+y^2)^3 - (y^2+z^2)^3 + (z^2-x^2)^3 = 3(x^2+y^2)(x^2-z^2)(y^2+z^2)
\]

đúng với mọi giá trị \(x, y, z\).

Vì vậy, ta đã chứng minh thành công đẳng thức đã cho.