Rút gọn tổng sau:

Để rút gọn tổng \( S = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + ... + \sqrt{n} \), chúng ta không thể rút gọn nó thành một biểu thức đơn giản hơn một cách chính xác, vì tổng này bao gồm các căn bậc hai của các số nguyên và không có công thức chính xác nào để tổng hợp chúng.

Tuy nhiên, nếu bạn đang tìm cách ước lượng giá trị của tổng này khi \( n \) lớn, có thể sử dụng một số phương pháp. Một trong số đó là sử dụng tích phân để ước lượng:

\[
S \approx \int_1^n \sqrt{x} \, dx
\]

Tính tích phân:

\[
\int \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3} x^{3/2} + C
\]

Do đó,

\[
\int_1^n \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3} n^{3/2} - \frac{2}{3} (1)^{3/2} = \frac{2}{3} n^{3/2} - \frac{2}{3}
\]

Vậy, khoảng giá trị của tổng \( S \) khi \( n \) lớn có thể được ước lượng gần đúng như sau:

\[
S \approx \frac{2}{3} n^{3/2}
\]

Trong thực tế, giá trị của tổng \( S \) sẽ lớn hơn \( \frac{2}{3} n^{3/2} \) một chút, nhưng tính toán chính xác giá trị của \( S \) cho một \( n \) cụ thể sẽ cần tính toàn từng phần tử trong tổng.