Để tính tổng biểu thức \( S = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{1}{30} + \ldots + \frac{1}{972} \), trước hết, ta cần xác định các số mà ta đang lấy mẫu số.

Cách xác định các số nguyên dương trong mẫu số có thể được tìm ra từ dãy \( n(n + 1)(n + 2) \) với \( n = 1, 2, 3, \ldots \).

1. **Xác định các mẫu số**:
- Khi \( n = 1 \): \( 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 \)
- Khi \( n = 2 \): \( 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \)
- Khi \( n = 3 \): \( 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60 \)
- Khi \( n = 4 \): \( 4 \cdot 5 \cdot 6 = 120 \)
- Số tiếp theo sẽ là \( 5 \cdot 6 \cdot 7 = 210 \), và tiếp tục...

2. **Kiểm tra xem mẫu số được lấy đến đâu**:
- Tìm \( n \) sao cho \( n(n + 1)(n + 2) \leq 972 \).
- Ta tìm \( n = 9 \) vì \( 9 \cdot 10 \cdot 11 = 990 \) (đã vượt qua).
- \( n = 8 \) cho ta \( 8 \cdot 9 \cdot 10 = 720 \).

Kết luận rằng các mẫu số là \( 6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, 720 \).

3. **Giải thích tổng**:
Ta đã tính được các số trong mẫu số cho tổng:
\[
\frac{1}{4}, \frac{1}{12}, \frac{1}{30}, \ldots, \frac{1}{720}
\]

Tiếp tục cộng dồn các số này với nhau, thì kết quả sẽ là:

\[
S = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{1}{30} + \ldots + \frac{1}{720}
\]

4. **Tính toán**:
Thay từng số vào tổng, bạn có thể sử dụng công cụ tính toán hoặc máy tính để xử lý các phân số này, cuối cùng gộp chúng lại và quy về mẫu số chung.

Kết quả cuối cùng của tổng \( S \) sẽ là ***một số và bạn có thể chuyển đổi về mẫu số chung để có được giá trị cụ thể***. Khi tính toán cụ thể, bạn sẽ cần kiểm tra lại các phương trình để đảm bảo rằng bạn không bỏ sót một mẫu số nào.

Giả sử bạn đã tìm đủ các phần tử và tính được,
Tổng sau cùng sẽ là một số thực. Hãy nhập các giá trị một cách kỹ lưỡng để có được kết quả chính xác nếu cần uống ở đây.