Tìm x thuộc Z thỏa mãn

Để giải bài toán, chúng ta có biểu thức \( N = \frac{3x^2 + 2x - 1}{x - 1} \). Để \( N \) là một số nguyên, điều kiện cần là mẫu \( x - 1 \) không bằng 0, tức là \( x \neq 1 \).

Trước tiên, ta thực hiện phép phân tích biểu thức:

\[
N = \frac{3x^2 + 2x - 1}{x - 1}
\]

Áp dụng phép chia đa thức, ta chia \( 3x^2 + 2x - 1 \) cho \( x - 1 \):

1. Chia \( 3x^2 \) cho \( x \) được \( 3x \).
2. Nhân \( 3x \) với \( x - 1 \) được \( 3x^2 - 3x \).
3. Trừ đi từ \( 3x^2 + 2x - 1 \):

\[
(3x^2 + 2x - 1) - (3x^2 - 3x) = 2x - 1 + 3x = 5x - 1
\]

4. Tiếp theo, chia \( 5x \) cho \( x \) được \( 5 \).
5. Nhân \( 5 \) với \( x - 1 \) được \( 5x - 5 \).
6. Trừ đi từ \( 5x - 1 \):

\[
(5x - 1) - (5x - 5) = -1 + 5 = 4
\]

Vậy, ta có:

\[
N = 3x + 5 + \frac{4}{x - 1}
\]

Để \( N \) là số nguyên, phần dư \( \frac{4}{x-1} \) cũng phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là \( x - 1 \) phải là ước của 4. Những ước của 4 là \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \).

Từ đó, ta có:

1. \( x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2 \)
2. \( x - 1 = -1 \Rightarrow x = 0 \)
3. \( x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3 \)
4. \( x - 1 = -2 \Rightarrow x = -1 \)
5. \( x - 1 = 4 \Rightarrow x = 5 \)
6. \( x - 1 = -4 \Rightarrow x = -3 \)

Vậy các giá trị nguyên thỏa mãn là:

\[
x = -3, -1, 0, 2, 3, 5
\]

Tóm lại, các giá trị \( x \in \mathbb{Z} \) sao cho \( N \in \mathbb{Z} \) là: \( x = -3, -1, 0, 2, 3, 5 \).