Để chứng minh rằng \( \cot B + \cot C \geq 2 \) cho tam giác vuông tại \( A \), ta sẽ sử dụng các tính chất của cotang và định lý lượng giác.

Ta có:

- Trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \), ta có \( B + C = 90^\circ \).
- Sử dụng định nghĩa cotang:
\[
\cot B = \frac{\cos B}{\sin B} \quad \text{và} \quad \cot C = \frac{\cos C}{\sin C}
\]

Từ đẳng thức lượng giác, ta có:

\[
\cot C = \cot(90^\circ - B) = \tan B
\]

Do đó, ta có biểu thức:

\[
\cot B + \cot C = \cot B + \tan B
\]

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho \( \cot B \) và \( \tan B \):

\[
\frac{\cot B + \tan B}{2} \geq \sqrt{\cot B \tan B}
\]

Biết rằng \( \cot B \tan B = 1 \), ta có:

\[
\sqrt{\cot B \tan B} = 1
\]

Suy ra:

\[
\frac{\cot B + \tan B}{2} \geq 1
\]

Dễ dàng suy ra:

\[
\cot B + \tan B \geq 2
\]

Vì \( \tan B = \cot C \), nên:

\[
\cot B + \cot C \geq 2
\]

Điều này chứng minh rằng \( \cot B + \cot C \geq 2 \) trong tam giác vuông tại \( A \).