Để chứng minh rằng \( a^{2010} + b^{2010} = c^{2010} + d^{2010} \) khi \( a + b = c + d \) và \( a^2 + b^2 = c^2 + d^2 \), chúng ta sẽ sử dụng một số loại hình học.

Đầu tiên, từ điều kiện \( a + b = c + d \), ta có:

\[
s = a + b = c + d
\]

Tiếp theo, từ điều kiện \( a^2 + b^2 = c^2 + d^2 \), ta nhớ rằng:

\[
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = s^2 - 2ab
\]
\[
c^2 + d^2 = (c + d)^2 - 2cd = s^2 - 2cd
\]

Do đó, từ hai điều kiện, ta có:

\[
s^2 - 2ab = s^2 - 2cd
\]

Điều này dẫn đến:

\[
-2ab = -2cd \implies ab = cd
\]

Từ đó, ta đã có:

\[
\begin{aligned}
& a + b = s, \\
& ab = p.
\end{aligned}
\]

Chúng ta có thể xem \( a \) và \( b \) là nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
x^2 - sx + p = 0
\]

Tương tự, \( c \) và \( d \) sẽ là nghiệm của phương trình:

\[
x^2 - sx + p = 0.
\]

Điều này nghĩa là \( a, b \) là các nghiệm của cùng một phương trình bậc hai với tổng và tích nghiệm giống nhau.

Nếu ta gọi \( a \) và \( b \) là nghiệm của phương trình, theo lý thuyết nghiệm, nghiệm của phương trình bậc hai có thể viết dưới dạng:

\[
a,b = \frac{s \pm \sqrt{s^2 - 4p}}{2}
\]
\[
c,d = \frac{s \pm \sqrt{s^2 - 4p}}{2}
\]

Như vậy, ta thấy rằng \( a, b, c, d \) đều có cùng tổng và cùng tích.

Để chứng minh rằng \( a^{2010} + b^{2010} = c^{2010} + d^{2010} \), ta sẽ sử dụng định lý Newton về các lũy thừa của nghiệm của phương trình bậc hai. Theo đó, ta có thể chỉ ra rằng nếu \( a \) và \( b \) đều là nghiệm của cùng một phương trình bậc hai, thì các lũy thừa cao của chúng cũng kết hợp theo cùng một cách.

Một cách để chứng minh điều này là sử dụng tính chất của các nghiệm, mà biểu thức lũy thừa có thể được thể hiện bằng phương trình hồi quy. Đặc biệt, nếu \( f_n = a^n + b^n \), thì:

\[
f_n = s f_{n-1} - p f_{n-2}
\]

với \( f_0 = 2 \) và \( f_1 = s \). Do \( c \) và \( d \) cũng thỏa mãn phương trình này, ta thấy rằng \( f_n \) cho \( c \) và \( d \) cũng sẽ bằng nhau cho cùng một \( n \).

Vì vậy, theo nguyên lý này, ta kết luận rằng:

\[
a^{2010} + b^{2010} = c^{2010} + d^{2010}
\]

Vậy nên, điều phải chứng minh là đúng.