Để tìm nghiệm của phương trình bậc bốn \(x^4 + 5x^3 - 8x - 40 = 0\), chúng ta có thể sử dụng một số phương pháp như thử nghiệm với các nghiệm khả dĩ, sử dụng định lý Ruffini, hoặc áp dụng các phương pháp số.

Bước đầu tiên, chúng ta thử nghiệm các số nguyên như -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Thử nghiệm với \(x = -5\):

\[
(-5)^4 + 5(-5)^3 - 8(-5) - 40 = 625 - 625 + 40 - 40 = 0
\]

Vậy \(x = -5\) là một nghiệm của phương trình.

Bây giờ, để giảm bậc của phương trình, chúng ta sử dụng phép chia đa thức để chia \(x^4 + 5x^3 - 8x - 40\) cho \(x + 5\).

Sử dụng định lý Ruffini, chúng ta sẽ chia như sau:

1. Viết hệ số: \(1, 5, 0, -8, -40\)
2. Thay \(x = -5\) vào:

\[
\begin{array}{r|rrrrr}
-5 & 1 & 5 & 0 & -8 & -40 \\
& & -5 & 0 & 0 & 40 \\
\hline
& 1 & 0 & 0 & -8 & 0 \\
\end{array}
\]

Kết quả là \(x^3 - 8\).

Bây giờ, chúng ta cần giải phương trình \(x^3 - 8 = 0\). Chúng ta có:

\[
x^3 = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 2
\]

Chúng ta đã tìm được hai nghiệm của phương trình:

1. \(x = -5\)
2. \(x = 2\)

Tiếp theo, chúng ta phải xem xét phương trình \(x^3 - 8 = 0\) có nghiệm nào khác không. Phương trình này chỉ có một nghiệm thực duy nhất là \(x = 2\).

Vậy nghiệm của phương trình \(x^4 + 5x^3 - 8x - 40 = 0\) là:

\[
\boxed{-5} \text{ và } \boxed{2}
\]