Để tìm giá trị nhỏ nhất \( P = x^4 + y^4 - x^3 - y^3 + 2x^2y^2 + 2xy(x^2 + y^2) + 13xy \) với điều kiện \( x + y = -2 \), ta sẽ sử dụng các biểu thức liên quan đến \( x \) và \( y \).

Bằng cách áp dụng công thức tổng quát, ta có:

1. **Tính \( x^2 + y^2 \)** theo \( x + y \):
\[
x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = (-2)^2 - 2xy = 4 - 2xy.
\]

2. **Tính \( x^3 + y^3 \)** theo \( x + y \) và \( xy \):
\[
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = -2 \left((4 - 2xy) - xy\right) = -2(4 - 3xy) = -8 + 6xy.
\]

3. **Tính \( x^4 + y^4 \)** theo \( x^2 + y^2 \):
\[
x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2 = (4 - 2xy)^2 - 2(xy)^2.
\]
Tính cái này ra:
\[
= 16 - 16xy + 4(xy)^2 - 2(xy)^2 = 16 - 16xy + 2(xy)^2.
\]

Bây giờ, thay thế vào biểu thức \( P \):
\[
P = (16 - 16xy + 2(xy)^2) - (-8 + 6xy) + 2(xy)^2 + 2xy(4 - 2xy) + 13xy.
\]
Sắp xếp lại:
\[
P = 16 - 16xy + 2(xy)^2 + 8 - 6xy + 2(xy)^2 + 8xy - 4(xy)^2 + 13xy.
\]
Gộp các hạng tử:
\[
P = 24 - (16 + 6 - 8 - 13)xy + 2xy^2,
\]
Tính các hệ số:
\[
P = 24 - xy + 2(xy)^2.
\]

Gọi \( t = xy \), khi đó ta có:
\[
P = 24 - t + 2t^2.
\]

Tiếp theo, theo điều kiện \( x + y = -2 \), theo định lý Viète, ta có:
\[
t = xy = \frac{(x+y)^2 - (x^2 + y^2)}{2} = \frac{(-2)^2 - (4 - 2t)}{2} = \frac{4 - 4 + 2t}{2} = t.
\]

Với điều kiện này, giá trị của \( t \) có thể được tìm thấy bằng các biện pháp như Làm một phương trình bậc 2 và tìm khoảng giá trị của \( t \) để tìm giá trị tối thiểu của \( P \).

Chúng ta tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \) bằng cách khai triển hàm bậc 2 này:
\[
P = 2t^2 - t + 24.
\]
Hệ số \( a = 2, b = -1 \). Giá trị cực tiểu xảy ra tại:
\[
t = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}.
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là:
\[
P = 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right) + 24 = 2 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{4} + 24 = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} + 24 = 24 - \frac{1}{8} = \frac{192 - 1}{8} = \frac{191}{8}.
\]

Vậy, GTNN của \( P \) là:
\[
\boxed{\frac{191}{8}}.
\]