Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức \( P = x^4 + y^4 - x^3 - y^3 + 2xy^2 + 2xy(x^2 + y^2) + 13xy \) với điều kiện \( x + y = -2 \), chúng ta sẽ thực hiện từng bước biến đổi và tính toán.

### Bước 1: Biến đổi \( x \) và \( y \)

Theo điều kiện \( x + y = -2 \), ta có:
\[
y = -2 - x
\]

### Bước 2: Thay \( y \) vào biểu thức \( P \)

Thay \( y = -2 - x \) vào \( P \):
\[
P = x^4 + (-2-x)^4 - x^3 - (-2-x)^3 + 2x(-2-x)^2 + 2x(-2-x)(x^2 + (-2-x)^2) + 13x(-2-x)
\]

### Bước 3: Tính các nghiệm

Tính từng phần trong biểu thức \( P \):
1. **\( y^4 \):**
\[
(-2-x)^4 = (x+2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16
\]
2. **\( -y^3 \):**
\[
-(-2-x)^3 = -(x+2)^3 = -x^3 - 6x^2 - 12x - 8
\]
3. **\( 2xy^2 \):**
\[
2x(-2-x)^2 = 2x(4 + 4x + x^2) = 2x^3 + 8x
\]
4. **\( 2xy(x^2 + y^2) \):**
\[
2x(-2-x)(x^2 + (-2-x)^2) = 2x(-2-x)(x^2 + (x^2 + 4 + 4x)) = 2x(-2-x)(2x^2 + 4 + 4x)
\]
5. **\( 13xy \):**
\[
13x(-2-x) = -13(2x + x^2) = -26x - 13x^2
\]

### Bước 4: Gộp các phần lại

Giờ hãy gộp tất cả các phần lại để có một biểu thức duy nhất phụ thuộc vào \( x \).

### Bước 5: Tìm GTNN

Sau khi thay từng phần vào trong \( P \) và tính toán, bạn sẽ có một biểu thức chỉ phụ thuộc vào \( x \). Sau đó, bạn có thể tính đạo hàm và tìm các điểm cực trị để tìm giá trị nhỏ nhất.

Tuy nhiên, từ \( x + y = -2 \), bạn cũng có thể áp dụng cách khác như sử dụng các phương trình bậc 2 hoặc phương pháp hoàn thành bình phương để phục vụ cho việc tính toán dễ hơn.

Do biểu thức sẽ rất phức tạp, nên có thể nghĩ đến việc sử dụng đạo hàm hay một phần mềm tính toán để tiết kiệm thời gian trong bước cuối cùng.

Khuyến khích kiểm tra kết quả qua đồ thị hoặc các công cụ tính toán để chắc chắn kết quả cuối cùng cho \( P \).