Chất điểm đang dao động điều hòa với biên độ \( A = 10 \, \text{cm} \) và chu kỳ \( T \). Công thức vận tốc của chất điểm dao động điều hòa được cho bởi:

\[
v = A \cdot \omega \cdot \sin(\omega t + \phi)
\]

Trong đó \( \omega = \frac{2\pi}{T} \) là tần số góc.

Ta biết rằng:
- Biên độ \( A = 10 \, \text{cm} \)
- Vận tốc cực đại \( v_{max} = A \cdot \omega = 10 \cdot \frac{2\pi}{T} = \frac{20\pi}{T} \, \text{cm/s} \)

Theo đề bài, khoảng thời gian mà vận tốc không vượt quá \( 20\pi\sqrt{3} \, \text{cm/s} \) là \( \frac{2T}{3} \). Ta cần tìm thời điểm mà vận tốc đạt giá trị này:

\[
v = 20\pi\sqrt{3}
\]

Khi đó,

\[
A \cdot \omega \cdot \sin(\omega t + \phi) \leq 20\pi\sqrt{3}
\]
\[
10 \cdot \frac{2\pi}{T} \cdot \sin(\omega t + \phi) \leq 20\pi\sqrt{3}
\]

Ta có thể rút gọn phương trình:

\[
\sin(\omega t + \phi) \leq \sqrt{3}
\]

Giá trị lớn nhất của hàm sin là 1, nên \( \sqrt{3} \) là hợp lệ. Khi giá trị của hàm sin đạt đến \( \sqrt{3}/2 \):

\[
\sin(\omega t + \phi) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \omega t + \phi = \frac{\pi}{3}, \, \frac{2\pi}{3} + k\cdot 2\pi
\]

Sau khoảng \( T \), thời gian \( \frac{T}{3} \) ứng với \( \omega t = \frac{\pi}{3} \) đến \( \omega t = \frac{2\pi}{3} \).

Khoảng thời gian trong một chu kỳ mà vận tốc vượt qua giá trị giới hạn này là:

\[
T - \frac{2T}{3} = \frac{T}{3}
\]

Từ đó, chu kỳ \( T \) có thể tính được như sau:

Từ công thức \( v_{max} = 20\pi \) biết rằng:

\[
\frac{20\pi}{T} = 20\pi\sqrt{3} \implies \frac{2}{T} = \sqrt{3} \implies T = \frac{2}{\sqrt{3}} \text{ (đối với đơn vị thời gian tương ứng)}
\]

Khi giải phương trình trên cho các thông số đã biết, ta sẽ tìm được giá trị của \( T \).

Như vậy, chu kỳ dao động của chất điểm là:

\[
T = \frac{4\sqrt{3}}{3} \approx 2.309 \, \text{s}
\]
Các bạn có thể sử dụng chu kỳ cụ thể hơn để có độ chính xác cao hơn tùy vào mô hình đơn vị thời gian nào mà bạn yêu cầu.

Tóm lại, chúng ta có thể xác định chu kỳ dao động khoảng \( T\) khoảng 4 giây tương ứng.