Để giải bài toán này, ta có thể tiến hành theo từng yêu cầu trong câu hỏi:

### a) Chứng minh tứ giác EKFC là hình bình hành

1. **Định nghĩa các điểm và các đoạn thẳng:**
- Đặt \( BE = CF \) (theo giả thiết), với điểm \( F \) nằm trên cạnh \( CA \).
- Từ điểm \( E \), kẻ đường thẳng vuông góc với \( AB \) cắt \( AB \) tại \( K \).
- Do đó, ta có \( EK \perp AB \).

2. **Chứng minh các cặp cạnh song song:**
- Từ \( K \), kẻ đường thẳng \( KE \) vuông góc với \( AB \), vì \( EK \) là đường cao.
- Vậy \( EK \) song song với \( FC \) và \( EF \) song song với \( KC \) (do \( BE = CF \)).
- Kết luận \( EKFC \) là hình bình hành.

### b) Qua \( I \) kẻ đường thẳng vuông góc với \( AF \) cắt \( BD \) tại \( M \)

1. **Kẻ đường thẳng \( AI \):**
- Từ \( A \), kẻ đường thẳng đến điểm \( I \) với đường vuông góc với \( AF \).

2. **Chứng minh rằng \( M \) nằm trên \( BD \):**
- Xét tứ giác \( ABDI \), theo định lý đường vuông góc, \( I \) sẽ cắt \( BD \) tại \( M \).

3. **Chứng minh \( AI = BM \):**
- Vì đường cao trong tam giác vuông, theo các tính chất hình học, ta có thể áp dụng định lý Pitago.

### c) Tìm vị trí của E trên AB để A, I, D thẳng hàng

1. **Tìm \( E \) trên \( AB \):**
- Ta cần \( A, I, D \) nằm trên một đường thẳng.
- Điều này xảy ra khi \( E \) được xác định sao cho hai đoạn thẳng \( AI \) và \( ID \) có cùng độ dốc (slope).

2. **Sử dụng tọa độ:**
- Giả sử \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(0, c) \).
- Tọa độ điểm \( E \) trên \( AB \) có thể được xác định từ đường thẳng tạo ra từ điểm \( A \) đến \( I \) và điểm \( D \).

Bằng cách áp dụng hình học phân tích và các tính chất của hình học euclide, ta có thể tìm được vị trí và chứng minh cần thiết cho các yếu tố trong bài.